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 (les lignes asympîotiqties. On est ainsi conduit au résultat très simple que 

 voici : 



» ToiUes les fois que les c.x posants seront liés par la relation 



(8) ///, + 7ii + m., 4- «2 = ' , 



Véijualion difJérenlicUe des lignes asyrnptotiques sera 



(9) 



IP— ')(,S-6){p-c) (p'_„)(p'_é)(p'-, 



elpor conséquent ces lignes seront définies par une relation algébrique, dont la 

 forme est bien connue, entre ^ et ^' . 



» Les exposants dans le cas de la surface des ondes satisfaisant à la re- 

 lation (8), le résultat précédent comprend celui que l'on connaît relative- 

 ment à celle surface. 



» L'intégration de l'équation (9) conduit au théorème suivant, qui rem- 

 place tous les calculs : 



» Considérons chacun des complexes de Cliasles, qui sont formés des droites 

 coupant tes trois plans coordonnés et te plan de l'infini en quatre points de rap- 

 port anharmonique constant. Le lieu des poi)its de ta surface où le cône du 

 complexe est tangent à cette surface est une ligne asymplotique. Quand on fera 

 varier la valeur du rapport anharmonique constant, on aura une infinité 

 de complexes qui donneront toutes les lignes asymptotiques. 



» Il m'a paru intéressant de chercher toutes les surfaces jouissant de la 

 propriélé exprimée par le théorème précédent. On trouve d'abord lessur- 

 fices tétraédrales de Lamé qui sont définies par l'équation 



(^ 





Lf^urs lignes asymptotiques ont été déjà déterminées par M. Lie, et elles 

 jouissent de celte propriété particulière que les tangentes à chacune d'elles 

 appartiennent tontes à un même complexe de Ghasles (qui varie quand on 

 passe d'une ligne à l'autre). 



» Les autres surfaces satisfont à l'équation aux dérivées partielles 



( 10) xjz{rt — s'-)-+- pcj[z — iJx — q/]=^o 



que l'on peut interpréter comme il suit. 



» Désignons par N^.., N^, N- les portions de la normale à la surface, com- 

 prises entre le pied M de celte no: niale et les pians coordonnés. Soient 



