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» En général, la courbe A = o a un point multiple d'ordre p— i en tout 

 point multiple d'ordre p de S; on verra plus tard que S est de genre un; 

 donc ; 



» La combe A = o esl la courbe de degré {?i — "5) qui passe par les Tji{n — 3) 

 points doubles de S ; plus généralement, c'est la courbe adjointe de S de degré 

 n — 3. 



» On démontre enfin que : 



» Si A (a;,) est identiquement nul, la courbe S est de degré inférieur à n, 



H VI. Supposons que A soit identiquement nul. Il reste nul quand on 

 remplace x,, x.,, x^ par des fonctions linéaires et homogènes de a;', , a^'^, x\, 

 les x' étant définis par 



(7) a-;. = X,x , -+- (j.,.r, H- v,jr3, (i = i , 2, 3) 



et le déterminant de la substitution étant différent de zéro. On peut choisir 

 les constantes X^, p.,, v, qui sont quelconques, de façon que ar'j et x'^ s'aU' 

 nulent pour t = a. 



(8) or=l-x,{c()-h[J.iX.{y.)-hViX3{a), (/ = 2, 3). 



). Si A est identiquement nul, on démontre qu'on peut, en combinant 

 linéairement les équations (4 ), former une relation telle que 



(9) 



» Faisant t = a, il vient 





Atx\'{(/,) = 0. 

 » Si x'i(oc) est nul, les relations (7) montrent qu'on a 



£r|(a) = .r,(a) =373(0-.) = o, 



ce qui est impossible, puisque a est quelconque. 

 M Donc A, = o et l'équation (9) devient 



j:', ( rt , x'j -4- rtj .r', -+- n.j x'^ -+■ a., y., + . . . -t- a,,)',, ) 

 = x'3 ( a', x'i -4- a'3 .r'3 + . . . + à,j„ ) . 



» Si x'o et x'3 n'ont que le zéro commun < = «, les « — i autres zéros 

 de x\ annulent la fonction rt,a:', H-. . . , et, comme cette fonction a dans 

 le parallélogramme co, /iw', n zéros de même somme que ceux de x'^ (1°), 

 elle aura aussi le zéro t = aet sera identique à or'j, à un facteur constant 



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