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près (2°). En raisonnant de même pour a:^, on voit que l'équation précé- 

 dente se réduit à 



f / 



ce qui exige qu'on ait ^3 = 0. Ou arrive ainsi à former une identité 

 en combinant linéairement les équations (4), ce qui est impossible (3°). 

 » cc^ et x'3 ont donc d'autres zéros communs que a. Soit /3 l'un d'eux : 



>,.x,(,S) + p.,-.r,(P) + v,-.r3(|3) -= o, (/ = 2, 3). 



» D'où résultent, puisque li,ixi,v^ ne sont liés que par les relations (8), 

 les équati-ons 



■lili) = ""Aîl ^ •!Aiii. 



.r, («) .r,(a) ■'•■,(0..'' 



j3 sera fonction de a, à moins qu'on n'ait 



x,(|3) = .r2(/5) = :r3(/3) = o. 



» Ainsi A ne peut être identiquement nul que dans deux cas : 

 » 1° JT,, ^î.a^s ont des zéros communs; 



» 2° 3c,,œ2,X3 peuvent avoir des zéros communs, mais de plus, étant 

 posé : 



X.r.2 _^ .r, 

 = — ) 1 ^ — > 



■'■| -^i 



les équations 



I X{u)-X{t) = o, 



Yln)- Y(t) = o 



(10) 



ont en u d'autres solutions communes que les solutions 



Il ^= t -\- ha -\- iiliiji' [h et h! étant des entiers quelconques). 



» VII. Si x^, X2, JC3 ont A: zéros communs, sans que les équations (10) 

 aient en u d'autres solutions communes que celles indiquées, on démontre 

 que: 



)) La courbe S' décrite par le point{a',, Xo, ac^) eit de degré fi — k, el toute 

 fonction linéaire et homogène (/eP,, ..., P„ inexprimé rationnellement en/onction 

 de x,{t), X2{t), ^^{t). 



» Genre de S. — En particulier, si X =n — 3, la courbe S' est une cu- 

 bique sans point double. Soient X,, Xj, X3 les coordonnées des points 

 d'une telle cubique; x,, x.^, X;, les coordoimées des points d'une courbe S, 

 de degré 72, mises sous la forme (3), A étant différent de zéro. Ou a, par 



