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 F sera donc, pour ces valeurs, une fonction doublement périodique de la limite 



arbitraire u du quotient — ^ — 



» Ces résultats obtenus, on établit alors aisément qu'entre trois fonc- 

 tions F existe une relation algébrique; de plus, étant données deux fonc- 

 tions de cette nature F et $, on peut former trois équations linéaires aux 

 dérivées partielles, ayant trois solutions communes linéairement indépen- 

 dantes 



r =^ np -h bq -h c z, s = a,p -h b,q + c,2, t ^ a2p -h h^q -h c.>z, 



où les a, b, c sont des fonctions algébriques des variables indépendantes x 

 aXj, et telles qu'en prenant trois solutions convenables s,, Zj, z,, les équa- 

 tions ^ = I, -î = vj, résolues par rapport -a x ei y, donnent précisément 



» Je ferai maintenant une remarque applicable à tous les groupes dis- 

 continus de deux variables indépendantes, analogues à G. A chaque groupe 

 fuclisien correspond, comme on sait, d'après M. Poincaré, un nombre p 

 qu'il appelle le genre du groupe. A chaque groupe discontinu dans le cas 

 de deux variables vont correspondre non plus un, mais trois nombres p,, 

 p,, Pi dont nous allons rapidement indiquer la définition. Soit cJ un do- 

 maine fondamental du groupe; ce domaine à quatre dimensions est limité 

 par certains espaces à trois dimensions, dont les points se correspondent 

 respectivement deux à deux par les substitutions fondamentales du groupe, 

 et devront, dans ce qui va suivre, être considérés comme confondus. Nous 

 dirons qu'un espace à m dimensions [m<i^) contenu dans § est fermé, 

 quand les points où cet espace rencontre la limite de § se correspondent 

 deux à deux par une substitution fondamentale du groupe; de plus, un ou 

 plusieurs espaces fermés à m dimensions constitueront le contour d'un 

 espace à [m -l-i) dimensions contenu dans §, quand, par ces espaces à 

 m dimensions, on pourra faire passer un espace fermé à (m -+- 1) dimen- 

 sions dont ils limiteront une partie. 



» Ceci posé, si l'on peut imaginer dans 5 un nombre p,^ d'espaces fermés 

 à m dimensions qui ne puissent pas constituer le contour d'un espace fermé 

 à [m -f- i) dimensions contenu dans ô, mais tel que tout autre espace fermé 

 à m dimensions puisse constituer avec une partie d'entre eux ou avec 

 tous le contour d'un espace fermé à (w+ i) dimensions contenu dans §, 

 nous dirons que le domaine ^ a une connexion de /n'^™« espèce d'ordre 



