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 p,„ 4- I . Nous avons à faire successivement m = 1,2, 3, ce qui nous donne 

 trois nombres /;,, pa» Pa correspondant au groupe. Nous nous sommes placés 

 ici, sauf les circonstances particulières à la nature du domaine â, au même 

 point de vue que M. Betti dans son Mémoiie sur la connexité dans les 

 espèces à h dimensions [Annati di Matematica, 2" série, t. II). » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le genre d'une relation algébrique entre deux 

 Jonctions uniformes d'unpoint analytique [x, y). Note de M. E. Goursat, 

 présentée par M. Hermite. 



« Dans un Mémoire récent ( Bulletin des Sciences mathématiques et astrono- 

 miques, avril i883), M. Picard, généralisant des recherches antérieures, a 

 montré que si deux fonctions^' = P(z), j = Q(z), uniformes daus tout le 

 plan, ayant des pôles en nombre quelconque et un nombre fini de points 

 singuliers essentiels, sontliées par une relation algébrique, le genre de celte 

 relation doit être zéro ou l'unité. Cette proposilion est susceptible d'une ex- 

 tension que je me propose d'indiquer ici. Etant donnée une relation algé- 

 brique /(x,j) — o de degré m et de genre p, et u, v deux fonctions uni- 

 formes du point analytique (a:, j-), liées par une relation algébrique 

 F(i<, f ) = o, de genre ç, on peut se proposer de rechercher dans quels cas 

 le nombre 9 peut être supérieur à p. Si u et v n'admettent d'autres points 

 singuliers que des pôles, le nombre q ne peut être supérieur à p. En effet, 

 u et (^ seront, comme il est bien connu, des fonctions rationnelles de a; et 

 de^, et l'on voit alors qu'à toute intégrale abélienne de première espèce de 

 la relation F(«, c) = o correspond une intégrale abélienne de première 

 espèce de la courbe/(a;,^) = o ; ce qui suffit à prouver que l'on ne peut 

 avoir q > p. 11 est de plus aisé de reconnaître que, si la courbe/(jr, j^) = 

 ne satisfait pas à certaines conditions particulières, le nombre qv\% petit 

 avoir d'autres valeurs que o ou p. Cette question est liée à la réduction du 

 nombre des périodes, et je me propose d'y revenir dans une autre circon- 

 stance. 



» Supposons, en second lieu, que les fonctions m et v, adinettant des pôles 

 en nombre quelconque, aient un nombre fini de points singuliers essen- 

 tiels. Dans ce cas, le théorème de M. Picard subsiste encore, et le genre de 

 la relation Y[u, p) = o ne peut être que zéro ou l'unité. Si, en effet, on se 

 reporte à la démonstration de M. Picard, on voit bien aisément que ce 

 théorème, envisagé dans toute sa généralité, peut s'énoncer ainsi : Etant 

 données deux fondions 11= P(z)) ^= Q{z) uniformes dans le voisinage d'un 



