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point singulier essentiel z = n, telles quelles n aient pas une infinité d'autres 

 points singuliers essentiels dans le voisinage de ce point, si ces fonctions sont liées 

 par une relation algébrique, le genre de cette relation doit être zéro ou l'unité. 

 Ceci posé, si les fonctions u et i> aflinellent pour point singnlier essentiel 

 (rt, b) et si pour x = a, n valeurs de j deviennent f gales à b, u et (> sont 



dans le voisinage des fonctions uniformes de(a:-— a)". Donc, d'après le 

 théorème général, le genre de la relation F(«, v) = o ne pourra élre que 

 zt'ro ou l'unité. On voit que, sous les restrictions admises, le genre de la 

 relation algébrique ne peut s'élever que dans le cas de /j = o ; ce qui est le 

 cas considéré par M. Picard. 



» Voici comment on pourra obtenir les expressions générales de deux 

 fonctions uniformes du point analytique {jc, j), ayant n points singidiers 

 essentiels et liées par la relation algébrique 



l\u, v) = o, 



qui sera de genre zéro ou de genre un. Dans le premier cas, on pourra ex- 

 primer u et V rationnellement en fonction d'un paramètre X, et cela de telle 

 façon qu'à un système de valeurs de u et de v ne corresponde en général 

 qu'une valeur de \. On aura alors 



F|, F,, i désignant des fonctions rationnelles. En remplaçant u et c par 

 leurs valeurs, X devient une fonction uniforme du point analytique (>r, j) 

 ayant n points singuliers essentiels (a,, è,), [a.,, b^), . .., {a„, b„); soit 

 R(ic, ^) cette fonction. Les expressions de ii et de i' deviennent 



« = F,[R(x, r)J, v = F,[R{x,y)]. 



» Pour l'expression de R(j:,j) je renverrai au Mémoire de M. Appell 

 [Àcta mathematica, t. I, p. 109 et suivantes). 



» Supposons maintenant que le genre de la relation algébrique F(«, c) = 

 soit égal à l'unité. Soient Q, l'intégrale abélienne de première espèce relative 

 à celte courbe et w, 0/ ses deux périodes. Quand on remplace u et v par leurs 

 valeurs, Q. devient une fonction du point analytique [x,y), Q[x,y) jouis- 

 sant des propriétés suivantes. Elle est uniforme et continue dans le voi- 

 sinage de tout point de la surface de Riemann correspondante, sauf dans 

 le voisinage des n points {a,, 6,), (rtj, b^), ..-, («„, /-»„); en chaque point 

 analytique [x, y), elle admet une infinité de déterminations toutes com- 



