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GÉOMÉTlUE. — Sur les lignes de courbure de la surface des ondes. 

 Note de M. G. Darbocx. 



« Les lignes de courbure de la surface des ondes ont été l'objet de dif- 

 férentes recherches à hi suite d'une Note insérée en .858 par M. Bertrand 

 dans les Comptes rendus (t. XLYII, p. 817). Un géomètre avait annoncé 

 que la courbe de contact de la déveioppable circonscrite à la surface et à 

 luie sphère concentrique est une ligne de courbure. M. Bertrand démontre 

 deux théorèmes élégants qui mettent en évidence l'inexactitude de cette 

 proposition. Depuis, un très habile géomètre, M. Combescure, est revenu 

 sur ce sujet dans les Annales de Tortolini (t. II, p. 278; 1859) et il a donné, 

 entre autres résultats, l'équation différentielle des lignes de courbure. Une 

 courte Note de M. Brioschi, placée à la suite du travail précédent, con- 

 tient une transformation intéressante de cette équation. 



» J'ai été conduit à m'occuper des lignes de courbure de la surface des 

 ondes en étudiant la forme des lignes de courbure d'une surface quel- 

 conque dans le voisinage d'un ombilic. Cette intéressante question a déjà 

 été l'objet des recherches de M. Cayley [Philosopiiical Macjazine, t. XXVI, 

 4® série, p. 873, 44i)- 



» Les lignes de courbure, dans le voisinage d'un ombilic, ne ressem- 

 blent nullement à un cercle et leur forme est très variable. Si l'on désigne 

 par A, B, C, a, ]3, y six paramètres dépendant de la forme de la surface 

 dans le voisinage de l'ombilic, les lignes de courbure sont définies par les 

 formules suivantes : 



(0 



X = K(p - a)'{p - [ifip - yf[p' - I - (aP7 4- « -t- jS + 7)/.], 



oùx, j" désignent les coordonnées rectangulaires de la projection du point 

 sur le plan tangent; p est un paramètre variable et R la constante arbi- 

 traire qui varie quand on passe d'une ligne de coui'bure à l'autre. 



» Le résultat précédent, sur lequel j'aurai sans doute l'occasion de 

 .avenir pour le compléter, fournit un moyen de reconnaître si les lignes de 

 courbure d'une surface peuvent être algébriques. Une condition néces- 

 saire est que les nombres A, B, C relatifs à chaque ombilic soient commen- 

 surables. Si cette condition n'est pas remplie pour un seul ombilic, ou 

 pourra affirmer que les lignes de courbure ne sont pas algébriques. 



