{ "3/, ) 



» En appliquant ce critérium à la surface des ondes qui était tout indi- 

 quée pour cet ordre de recherches, je reconnus que dans ce cas et pour 

 tous les ombilics A, B, C sont commensurables. Dans le voisinage de 

 chaque ombilic les ligues de courbure sont semblables à des courbes algé- 

 briques du dixième ordre. J'ai été ainsi conduit à de nouvelles études qui 

 ont été communiquées en 1878 au Congrès de l'Association française. 



» Conservons les variables a, (3, a! , (3' déjà définies et posons, pour 

 abréger, 



/(a) = (a -a)[(j. — h){a. - c)\ 



l'équation différentielle des lignes de courbure, déjà donnée par M. Cora- 

 bescure, sera 



(2) /(«)^|3^ + /G3)r/«^-^a^,3J2/(«) + (/3 -«)[/(«) -^]j=o. 



» Celte équation conserverait absolument la même forme si, au Heu de 

 l'écrire avec les varinbles a, |3 on emi^loyait a, |3'. Je vais montrer qu'on 

 peut l'intégrer toutes les fois que la fonction du Iroisiènie degré /[x) se réduit à 

 un poljnàme du deuxième degré. 



» Pour cela, je remarque que, si l'on pose, pour abréger, 



y(x) = x/(a?), 

 et si l'on substitue à /3 la variable v = a(|3 — a), l'équation (2) deviendra 



Siy(x) est du second degré et par conséquent (f{x) du troisième, le der- 

 nier terme de l'équation précédente disparaîtra. Je suppose que dans 

 (f[x) le coefficient de la troisième puissance ait été ramené à l'unité et 

 je pose 



)) L'équation en w sera 

 On peut l'écrire 



/ dci\ _ da' (do. 



et si Ton effectue le changement de variables bien connu, défini par les 



