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 » Si l'on considère deux intégrales de première espèce et qu'on accentue 

 les périodes de cette seconde intégrale, on anrà 



» 



— i.^i.-hi^C— £^S2 + E5< — ^ï^-H^o^', — el^Sj + Sefs — ^6^5 = 0. 



» Nous pourrons choisir une intégrale de première espèce, de telle sorte 

 que ' 



£, = 1, S2=£3 = 0, 



et alors nous poserons 



» On peut former par divers procédés un grand nombre de relations 

 entre ces périodes; mais trois seulement sont distinctes, à savoir 



x{a: -\- f -h z) =y, 



X- -+- 2X)' + /^ -+- yz = z, 



j"^ -^ yz -\- z'^ -{- oc -\- ij + s 4- I = 0. 



» Ces trois équations admettent les huit solutions suivantes • 



X=-\, J = T = T 4- T^-|-T% 2 = — I, 



^ = 1, j — T'= -3 + t' + tS z = — I, 



X — X'", J = t""+T«'"4- I, Z = t''"— r'«_ I, 



où 



lit . . lit o /■ r f? 



T = cos 1- i sm — j m = 1 , 2, .i, 4i j» o- 



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)) Les iiuit solutions conviennent et correspondent à huit systèmes de 

 périodes différentes, satisfaisant aux conditions (i) et (2). 



» Il existe aussi une intégrale de première espèce dont les périodes sont 

 simplement ' 



£, = T, e,.= V, S3 = T% £.1 = T% ÎS=T% Sr, = T% £, = t . 



; » Considérons en particulier l'intégrale u^, dont les sept périodes sont 



I, o, o, 1, T, — 1, — T— I. 



Elle n'a que deux périodes distinctes, i et ï; les procédés de M. Picard 

 permettent donc de la ramener aux intégrales elliptiques. Mais on démontre 

 que l'on peut trouver six intégrales 



«,, u,,, u,, U., U,:, II, 



