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de cette Note est d'indiquer une méthode générale permettant d'obtenir 

 l'expression de pareilles fonctions. Il n'y a rien à ajouter en ce qui concerne 



(;,i) 



les intégrales de troisième espèce; dans l'expression de TT , on peut en effet 



IV, l'I 



supposer que l'un des points critiques logarithmiques coïncide avec un point 

 de ramiKcation (a, (3) d'ordre 7^ — i; la variation de cette intégrale sera 

 alors égale à a/n lorsque la variable oo décrira n lacets successifs sur le plan 

 autour du pointa; = a. Il en est tout autrement des intégrales normales de 

 seconde espèce Z(S, -/i), qui deviennentinHnies lorsque le point (Ç, y;) vient 

 coïncider avec un point de ramification. Il y a donc lieu de rechercher un 

 nouvel élément analytique pour exprimer les intégrales admettant pour 

 pôle un point de ramification. 



» Je suppose que l'équation y (j:, j) = o, de degré ni et de genre /;, 



présente un terme en /'" et que les m valeurs du rapport - pour x = ce 

 soient distinctes et finies. 



» Soit S la surface de Riemann correspondante, et rendons-la simplement 

 connexe au moyen des coupures a eX b (voir la Thèse de M. Simart, p. 88 

 et suivantes). SoitV(x, j*) une intégrale abélienne finie et continue dans 

 le voisinage de tout point de la surface de Riemann, sauf dans le voisinage 

 du point de ramification d'ordre «— i, (a? = a,7=|3) qu'elle admet 

 comme pôle d'ordre m; de telle sorte que l'on a dans le voisinage de ce 

 point 



Y{^,-n)=^A,(i-af"-+-AS-af " +...+ A,„(? - a) "+p[(Ç_a)"J, 



P désignant une série convergente ordonnée suivant les puissances positives 



de (i — a)". Ou peut toujours ajouter à cette intégrale une intégrale abé- 

 lienne de première espèce, choisie de telle façon que les modules de pério- 

 dicité relatifs aux coupures a soient nuls; c'est ce que je ferai désormais. 

 Ceci posé, considérons l'intégrale définie 



prise le long du contour complet de la surface dans le sens direct. On a, 

 pour expression générale de cette intégrale définie, 



