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 où les A et les B désignent les modules de périodicité des deux intégrales 



5.1 

 S'.V 



(SiMART, loc. cit., p. io8). Les modules de périodicité relatifs aux coupures 

 a étant nuls pour les deux intégrales, il en résulte que la somme précédente 

 est identiquement nulle. D'autre part, celte somme est égale, d'après le 

 théorème de Cauchy, au produit de 2/;rpar la somme des résidus de la 

 fonction 



v(E,-^)z(^,.-.) 



sur toute la surface, ou, comme il est facile de s'en assm-er, à 



2/7tV(«-„,.Vo) - 2i'\{.r,r)-h 2/-R(îf,p), 



R(a, (3) désignant le résultat relatif au pôle x = a, y = p. Pour évaluer ce 

 résidu, je remarque, que le point l = a est un pôle d'ordre ti — i pour 

 Z(E,r,), et l'on a dans le domaine de ce point 



z(s,-fl) = (i-^; 



Z(«,/,) + (ij=^Z")(rt,i) 



Z^'Ua,b) + ...+ -^ — '^ :Z^"'-'Ha,b)- 



^ ' ' 1.2...;// — il \ 1 J 



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les quantités Z{a,b), . .., Z'"(rt, />) n'ont plus tout à fait le même sens que 

 lorsque le point [n,b) est un point ordinaire de la surface. Toutefois, 

 comme l'ambiguïté ne paraît pas possible, je conserverai cette notation. 

 Le résidu R(a,p) aura donc pour valeur (voir Appell, Jeta matliemntica, 

 t. I, p. ii4) 



*- lai ej 3up -13 lib'o 

 et l'on en déduit la formule 



V(.r, j) = V(^o.ro) + n [a„Z(«, Z») + . . . + A, -— — ^i-^J. 



Ceci nous conduit à prendre comme éléments 'essentiels des intégrales 

 considérées les fonctions Z(*'(a, i). Les propriétés de ces intégrales sont 

 faciles à déduire de leur expression au moyen des fonctions 0. Ain.si on 

 établit sans difficulté que V^[a,b) est partout finie et continue, sauf au 



