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point .r = (7, y =z h qu'elle admet comme pôle d'ordre // + i , que les 

 modules de périodicité relatifs aux coupures a sont nids. Le module de 

 périodicité relatif à la coupure /',■ sera ég;d à (pf\a,b), en supposant 

 qu'on ait, dans les environs du point x r= n, y = />, 



(fi{x,r) = (H - fi] 



1 



^-4 



* „,<".' 



a," 



(fi[x,')') désignant la dérivée de l'intégrale normale de première espèce 

 «f''(.r,7). On le voit en prenant l'intégrale définie /z'*'(r/, h)'^i{3c^j) dx 

 le long du contour complet de la surface. 



» Les intégrales Z''^'(«, h) jouent absolument le même rôle que les inté- 

 grales normales de seconde espèce où le pôle est un point ordinaire, soit 

 dans le théorème de Riemann-Rocli, soit dans la théorie générale des 

 fonctions uniformes d'un point analytique (a:, j). Elles interviennent en 

 particulier dans l'expression des fonctions rationnelles qui sont les déri- 

 vées des intégrales de première espèce; on sait, en effet, que ces dérivées 

 ne peuvent devenir infinies qu'aux points critiques. » 



ANA1.Y.SE MATHÉMATIQUE. — Sur un théorème de Riemann relatif aux fonctions 

 de n variables indépendantes admettant 2« systèmes de périodes. Note de 

 MM. H. PoiNCARÉetE. PfcAnn, présentée par M. Hermite. 



« Les fonctions de n variables indépendantes permettent, comme on 

 sait, déformer des fonctions uniformes de « variables avec in systèmes de 



périodes. Ces périodes ne sont pas arbitraires, car elles saiisfont à — '"^^ 



relations bien connues. Dans une conversation avec M. Hermite, lors de 

 son voyage à Paris, en i86o, Riemann avait affirmé que ces relations de- 

 vaient nécessairement exister entre les sn systèmes de périodes de fonction 

 luiiforme de n variables, 2/2 fois périodique ('), tout au moins après une 

 transformation de degré convenable effectuée sur ces périodes, mais il n'a 



(') M. Hermite a nnoncé, d'après Riemann, ce théorème dans une Note faisant suite à la 

 sixième édition du Traité de Lacroix 



