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 jamais indiqué la marche qui l'a conduit à cette importante proposition. 

 M. Weierstrass aurait depuis annoncé à quelques-uns de ses élèves qu'il 

 possédait ime démonstration du théorème précédent, mais l'diuslre géo- 

 mètre de Berlin n'a jamais, à notre connaissance, publié ni indiqué la 

 méthode dont il a fait usage. 



» La proposition énoncée peut se démontrer aisément à l'aide des con- 

 sidéralions suivantes Soit 



(]) 1 «21 ''^22 • • • '^?,2n> 



un système irréductible de zn périodes simultanées des n variables indé- 

 pendantes Xf, JCi, ..., x„. On sait, d'après M. Weierstrass [Monatsbe- 

 richt, 1862), qu'entre («+ i) fonctions 2n fois périodiques de «variables, 

 existe une relation algébrique; soit, en désignant ces fonctions par m,, 



^2) ■ • • • "n+l ) 



et l'on peut choisir (» -f- 1) fonctions, de telle sorte que toute autre fonc- 

 tion admettant les mêmes périodes s'exprime rationnellement à l'aide de 



i^t 1 "2» • • ■ > '^«-(-1 • 



« Cela posé, on établit que les fonctions «,, ^^2, . . ., «„ satisfont au 

 système d'équations aux différentielles totales 



dx„ = P„, f/^/, 4- P„or/«2 + . . . + ^nnCfu,,, 



où les P sont fonctions ralioniielies de //,, u.,, . . ., «„, u„^,. 



» X,, x^, . . .,x„ sont donc des intégrales de différentielles tota les algé- 

 briques admettant le système des périodes (I). Posons maintenant 



les (j> étant des fonctions rationnelles, absolument arbitraires, d'une va- 

 riable t; X,, iCj, . . ., x„ deviendront des fonctions X,, X,, . . ., X„ de la 

 seule variable t, et ce seront des intégrales abéliennes de preuuère espèce 

 correspondant à la relation algébrique entre t et //„+,, 



