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On remarquera d'abord que ces n intégrales seront linéairement indépen- 

 dantes, si les cp sont pris d'une manière arbitraire; on voit ensuite que 

 chaque système de périodes correspondantes des intégrales X, , X,, . . . , X„ 

 sera nécessairement de la forme 



'J^n «H.2 + • • • + "'« «« 2/n 



où les m sont des entiers. En écrivant la relation entre les périodes de 

 deux intégrales quelconques X^ et Xp, on aura donc 



(2) 2 2 ^'A "«'•"?*= "' 



i = l Ar=l 



les c étant des entiers indépendants de a et ]3, et l'on a de plus c„ = o, 



» Le déterminant | c^;, | d'ordre 2«, qui est un déterminant gauche, sera 

 un carré parfait m^. 



» Admettons pour un instant que m ne soit pas nul ; on établira sans 

 peine qu'en effectuant sur les périodes m une transformation d'ordre m, 

 c'est-à-dire en remplaçant les périodes w par des périodes ii qui en soient 

 des fonctions linéaires à coefficients entiers de déterminant égal à m, la 

 relation entre les périodes de X^ et Xp devient, quels que soient a et j3, 



et cette égalité établit le théorème de Riemunn. 



» Nous avons maintenant à montrer que ni ne peut être nul ; nous nous 

 appuierons pour cela sur la remarque suivante, qui résulte immédiate- 

 ment d'un théorème fondamental de Riemann. Si l'on pose 



la somme 



est certainement différente de zéro. Cela admis, nous démontrons que, si 

 le déterminant |c,vi| = o, on peut, par une transformation de degré conve- 



