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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'intégration d'une foiiclion rationnelle homo- 

 gène. Note de M. C. Stépiia\os, présentée par M. Jordan. 



« 1. Dans une précédente Communication [Comptes rendus du. 12 no- 

 vembre i883), j'ai eu l'occasion d'indiquer comment, étant données trois 

 formes binaires f = y*, /S = p"' , 7 = 7" (où k>m-hn— 1), on peut obte- 

 nir l'expression générale des formes B = B*~"' et C = G*"" satisfaisant à la 

 relation Aip H- Bj3 + C7 = o, où A désigne le résultant des deux formes 

 /3et7. 



» Dans la Note actuelle, je vais d'abord considérer (n° 2) ce que de- 

 vient le problème précédent lorsqu'on suppose 



_,» Je passerai ensuite (n° 3) à un autre problème plus général, lequel 

 permet d'obtenir la solution de cotte question : 



» Etant données deux formes binaires o et/, dont les ordres k et m + i sont 

 tels que k -\~ 1 ^ [m -\- i)[n -\- i) et dont la seconde/ n admet que des facteurs 

 linéaires simples, calculer directement la partie algébrique et la partie transcen- 

 dante de l'intégrale 



j j-'n+i {■^1 ""^2 ^2 "^1 j) 



sans recourir à la décomposition en fractions simples de -j^^' 



» La solution que nous donnons de cette question n'est pas sans pré- 

 senter beaucoup d'analogie avec la méthode remarquable, i-elative à l'in- 

 tégration d'une fonction rationnelle quelconque, exposée par M. Hermite 

 dans son Cours d'Analyse. Et, précisément, c'est en nous guidant par la 

 méthode de M. Hermite, et aussi en nous efforçant de n'introduire que des 

 covariants, que nous sommes parvenu à ce résultat. 



» 2. Le problème que je dois considérer d'abord est le suivant : 

 » Etant données deux formes binaires cp = 0™'+'"-' ctj =^ ci"^'^^ (où »2, =/«), 

 dont la seconde a son discriminant D différent de zéro, trouver l'expression gé- 

 nérale des formes binaires s = s'"' et l = /'"'"' satisfaisant à la relation 



(i) Dy-(/,..),+A 



» Représentons par A = A',"'^ la forme définie par les relations 



(A,/),„ = o, (A,/),„+, = 0, 



