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 Formons le déterminant de xu + ym + zn, où u représente l'unité ter- 

 naire 



I G o 



o I o 

 o o I 



Ce déterminant sera de la forme 



X 



3Ba7\r 

 3Da-y- 



- 3Cx^y 

 bExy + 3FiC3= + Gj' 4- iRj^z + 3Kj3« + L2' 



et je trouve que, dans le cas supposé, il faut que les sept conditions sous- 

 crites soient satisfaites; B = o, G = o, D = o, E = o, F = o, H = o, 

 K = o, de sorte que la fonction en jc, y, z devient une somme de trois 

 cubes, mais ces sept conditions, qu'on pourrait nommer conditions paramé- 

 triques, quoique nécessaires, ne sont pas suffisantes; il faut y ajouter une 

 huitième condition que je nommerai Q = o, 



» Pour former Q, voici la manière de procéder : 



)) En supposant que 



->i- 



m 



a 

 d 



g 



c 



j 

 k 



et 71 = 



a' 



d' 



f 



g 



e' 

 11 



c' 



f 

 k' 



on écrit, au lieu de m, son transversal 



.'tUyi^ti 



et l'on forme neuf produits en multipliant chaque déterminant mineur du 

 second ordre contenu dans m avec le déterminant mineur semblablement 

 posé dans le transversal de n : la somme de ces neuf produits est Q. 



» Ces huit conditions que je démontre sont suffisantes et nécessaires (en 

 écartant comme aiiparavant le cas où wn = mn = o) pour que nin = pmn. 



» On pourrait très bien se demander ce qui arrive dans le cas où les 

 sept conditions paramétriques sont satisfaites, mais non pas la huitième 

 condition supplémentaire. 



» Dans ce cas, je trouve que mn, et nm restent fonctions l'une et l'autre 



