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ANALYSE MATHiiMATIQUE. — Sur le nombre des permulalions de n élcmenls 

 qui présentent s séquences. Note de M. D. André, présentée p;irM. Her- 

 mite. 



« Dans la séance de l'Académie du 6 septembre 1875, J. Bienaymé a 

 énoncé, sans le démontrer, un théorème très curieux, touchant le nombre 

 probable des maxima, minima et séquences d'une suite, prise au hasard, 

 de Ji nombres inégaux. 



» L'étude de ce théorème, jointe à celle de la démonstration si élégante 

 qu'en a donnée (') M. J. Bertrand, m'a conduit à me demander si l'on ne 

 pourrait pas trouver un moyen simple de calculer le nombre exact des per- 

 mutations de II éléments qui ont |x maxima et p.' minima, ou bien, ce qui 

 revient au même, le nombre exact des permutations de n éléments qui 

 présentent s séquences. C'est là un problème qui me paraît intéressant, 

 qu'on ne s'était peut-être jamais proposé, et que je viens de résoudre par 

 les moyens suivants. 



» Considérons toutes les permutations qu'on peut former avec « nombres 

 inégaux, ou, plus simplement, avec les îi premiers nombres. Appelons 

 permutations («, s) celles d'entre elles qui [irésentent s séquences; et dé- 

 signons le nombre de ces dernières par la notation P„ j. 



Évidemment, toute permutation des n premiers nombres peut être 

 regardée comme provenant d'une certaine permutation des n — i premiers 

 nom bres, où le nombre n a été introduit à une certaine place. Or, lorsqu'on 

 introduit le nombre n dans une permutation quelconque des 72 — j pre- 

 miers nombres, il ne se produit jamais, relativement au nombre des sé- 

 quences de cette permutation, que l'une de ces trois choses : ou bien ce 

 nombre de séquences ne change pas, ou bien il augmente d'une unité, ou 

 bien il augmente de deux unités. Il s'ensuit immédiatement que toute per- 

 mutation («,5) provient, sans exception, soit d'une permutation [n — i, s), 

 soit d'une permutation [n — i,s — i), soit d'une permutation {11— i,s — 2). 



» Mais, dans une permutation quelconque des n — i premiers nombres, 

 on peut distinguer, par des caractères très nets, les places où l'introduction 

 du nombre n produit tel ou tel des effets énumérés plus haut; on peut, 

 par conséquent, calculer sans peine le nombre des places correspondant à 

 chacun de ces effets. On trouve, par ces calculs, que chaque permutation 



(') Dans la séance du i3 sei)icnibre i8j5. 



