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 (« — 1,5) don ne i' pennu la lions (/;,.f); qne chaque permutation (// — 1,5 — i) 

 en donne 2; que chaque pernuitation [n — 1,^ — 2) en donne ri — s. De 

 là, l'identité suivante : 



P„,, = ^P„_,.,-t- 2P„„,,,_, + [n - .f)P„_,,,_„. 



» Celte identité constitue, dans la tliéorie des permutations, une for- 

 mule fondamentale. Elle résout complètement le problème qui nous oc- 

 cupe; car, associée aux identités évidentes, 



"11, \ = 2 et P„ 2 = 2P„_|_2 -4- 2I «_i,i, 



elle permet de calculer de proche en proche, d'une façon très régulière, 

 les diverses valeurs de P„ ,. 



» On peut remarquer que la méthode qu'elle nous fournit pour effectuer 

 ces calculs nous conduit naturellement à disposer les valeurs trouvées 

 en un triangle, analogue au triangle de Pascal, et dont voici les premières 



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» Ce tiiangle n'est autre chose qu'une table à double entrée, où le 



nombre P„ ,, se trouve à l'intersection de la colonne de rang s et de la ligne 



de rang n — i. Si l'on examine les nombres qui le composent, ou arrive, 



par induction, aux deux théorèmes suivants, qu'il est aisé de démontrer 



en tuile rigueur, et qui sont vrais, le premier quel que soit u, le second 



dès que 71 dépasse 3 : ^uf u •■ 



noilan 



» I. Le nombre des permutations de n éléments qui présentent s séquences 



est toujours un nombre pair. 



» II. Parmi les permutations de n éléments., il y a autant de permutations 

 ayant un nombre pair de séquences que de pcninilalions en ayant un nombre 

 impair. ;^di anliiijj<)' im.-h lA en.Al 



C. k.. iVfeS, 2- Semestre. (T. XCVIl, W '1^1.) ' 77 



