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 » Je ferai observer en terminant que la formule fondamentale établie 

 ci-dessus donne facilement le théorème de J. Bienaymé. Supposons, en 

 effet, qu'on ait formé le tableau complet des permutations des n premiers 

 nombres, et qu'on cherche le nombre total des séquences contenues dans 

 ce tableau. On trouve, grâce à cette formule fondamentale, que ce nombre 



total est égal à ^ " ~ n\ et, par conséquent, que le nombre moyen des 

 séquences de chaque permutation est égal à — ^ — • Il s'ensuit que le rapport 

 - a pour valeur moyenne la fraction ~-^ — -, qui tend vers ^ lorsque n 



croît indéfiniment; c'est précisément en cela que consiste le théorème de 

 J. Bienaymé. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un théorème de Liouvilte. 

 Note de M. Stieltjes, présentée par M. Hermite, 



« Dans le Tome XIV (2*= série, année 1869, p. i) du Journal de Malliéma- 

 tiques pures et appliquées, Liou ville, dans une Lettre adressée à M. Besge, 

 a donné une relation remarquable entre les nombres de classes de formes 

 quadratiques. 



» A l'aide de considérations arithmétiques, j'ai pu établir d'autres rela- 

 tions d'une forme analogue, et je me suis aperçu après qu'on peut établir 

 aussi toutes ces formviles à l'aide de la théorie des fonctions elliptiques. 

 Les théorèmes I-IV qui vont suivre sont ceux que je connais jusqu'à pré- 

 sent; le premier théorème est celui qui a été donné par Liouville. 



» Comme je l'ai déjà dit, on peut vérifier ces théorèmes à l'aide de for- 

 mules tirées de la théorie des fonctions elliptiques; mais déjà, dans le cas 

 du théorème IV, cette vérification demande des calculs assez prolixes, 



» Désignons généralement par F{n) le nombre des classes de formes 

 quadratiques de déterminant — n, dont un au moins des coefficients ex- 

 trêmes est impair. Toutefois, lorsque ti est un carré impair, il faudra dimi- 

 nuer de J le nombre de ces classes pour avoir F(«); ainsi F(i) = i, 

 F(9) = 2i, .... Cette convention, qui simplifie les formules, a été intro- 

 duite par M. Kronecker. 



» Ensuite, dans les sommations suivantes, il faudra attribuer à s les 

 valeurs i, 3, 5, 7, 9, . . . , et arrêter les séries lorsque, dans le terme sui- 

 vant, l'argument de la fonction F deviendrait négatif. 



