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 » Cela posé, on a les théorèmes suivants : 



» Théorème I. — Soit N un nombre positif impair ; alors 



1{- i)~^^F(4N - s^-) = l{x'- -y-). 



» La sommation, dans le second membre, a rapport à toutes les solutions 

 de N = X- -i-y', x étant impair et positif, / étant quelconque, positif, nul 

 ou négatif. 



» Théorèjie II. — Soit]^ un nombre positif quelconque; alors 



S—l W(N-l) 



23(- i) - 5F(4N-2J-) = (-i) ' l{x^-2y-). 



» La sommation, dans le second membre, a rapport à toutes les solutions 

 de N ^a?'*-^ aj-*, x et y étant des nombres entiers quelconques, positifs, 

 nuls ou négatifs. 



» Théorème III. — 5o/f N un nombre positif de la forme 8k -h 3; alors 



» La sommation, dans le second membre, a rapport à toutes les solutions 

 de N = a;- -H 2j^, x et j étant positifs et impairs. 



» Théorème IV. — Soit N un nombre positif quelconque; alors 



2(- i)~^F(i6N - 3^^) = I{x'- 3y^). 



» La sommation, dans le second membre, a rapport à toutes les solutions 

 de N = ii;° + 3j-, x et j- étant des nombres entiers quelconques, positifs, 

 nuls ou négatifs, soumis seulement à cette restriction que x -h / doit être 

 impair. 



» Nous devons ajouter que, dans toutes ces formules, le second membre 

 devient égal à zéro lorsqu'il n'y a pas de représentation de N par la forme 

 quadratique indiquée. Cela a lieu, par exemple, dans le premier théorème, 

 lorsque N est de la forme 4'^ + 3, et dans le quatrième, lorsque N est 

 pair. » 



