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GÉOMÉTUili iNFiNlTÉSlMALK. — Déiiionitratioii nouvelle de deux ikéorèmes 

 de M. Bertrand; par M. Geouges Ossian BoiNnet. (Extrait par l'au- 

 teur. ) 



« Supposons que d'un point A d'une surface doinjée S on trace sur 

 celle-ci et dans toutes les directions des lignes géodésiques. Prenons, à 

 partir du point A, pour chacune d'elles, un arc AM de longueur con- 

 stante r : le lieu des extrémités M sera une ligne de la surface à laquelle 

 nous donnerons, pour abréger, le nom de circonférence gëodësique de 

 centre A et de rayon géodésique r. 



n Nous appellerons aussi cercle géodésique la portion de la surface com- 

 prise dans une circonférence géodésique. 



» Cela posé et cons^idérant le rayon /• comme infiniment petit principal, 

 il est utile de connaître le [)érimèlre de la circonférence géodésique en ne 

 négligeant que les infiniment petits d'un ordre supérieur au troisième; et 

 l'aire du cercle géodésique en ne négligeant que les infiniment petits d'un 

 ordre supérieur au quatrième. 



» Ces problèmes ont été posés et résolus pour la première fois par 

 M. Bertrand; MM. Puiseux, Diguet, Faye s'en sont ensuite occupés. Nous 

 nous proposons d'en donner ici une nouvelle solution. 



» Je ferai usage des propositions suivantes, dues à M. Ossian Bonnet, 

 mon père : 



» 1° Soit y (a) un infiniment petit avec a, d'ordre/? et ayant A «^ pour 

 valeur principale. Supposons que y(a) ait une fonction primitive r(a) bien 

 déterminée pour a := o et pour a très petit; F(a) — F(o) sera infiniment 



petit d'ordre /> 4- 1 et aura a^^' comme valeur principale. 



» 2° F(a) étant toujours la fonction primitive, bien déterminée pour a = o 

 et pour « suffisamment petit, de l'infiuiment petity(a), si J[x) est d'ordre 

 supérieur à p, F(a) — F(o) sera d'ordre supérieur k p -h i- 



« 3" Si l'on a 



/{a) = a -h bu -h ca? -h . . -h m a'' , 



en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur à p, on aura 



F(a) = F(o) + rt a + - «= + fà"^ +'.'?. + -^^ a"^', 

 on !ié„ligeant les infiniment petits d'ordie supérieur k p -h i. 



