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» Revenons maintenant à la question. 



» Supposons que les dirfprenis points M de la surface donnée S soient 

 rapportés au système de coordonnées qu'on peut appeler cooidoimces po- 

 laires géodcsiques, et qni ne sont aulres que la longueur /• de l'arc de ligne 

 géodésique qui va du point M à un point fixe A (on sait que cette li.-ne est 

 unique |)ourvu que le point M soit suffisamment prés du point A); et 

 l'angle w sous lequel la ligne géodésiqueMA coupe une autre ligne géodé- 

 sique fixe, issue du même point A. 



» On sait que Gauss a le premier considéré ce système de coordonnées 

 et qu'il lui a reconnu les deux propriétés suivantes : 



» 1° Les deux s} stèmes de lignes coordonnées se coupent partout à angle 

 droit. 



» 2° Si l'on appelle c la fonction deret de w, qui représente l'arc de la 

 circonférence géodésique de rayon r, compris entre la ligne géodésique 

 initiale co = o et la ligne géodésique quelconque qui coupe la première sous 

 l'angle &j, on a 



de 



^^' d?~d^~ ~ RR'' 



R et R' étant les rayons de courbure principaux de la surface (' ). 



» La formule (i) de Gauss conduit à une solution simple des problèmes 

 que nous avons en vue. 



» Appelons Rq et R„ les valeurs de R et de R' pour le point A ; il sera 

 possible de trouver un nombre déterminé, positif et fini K, tel que —^ — „ „, 



' KR KoKo 



soit plus petit que Kr et plus grand que — Kr pour tous les points de la 

 surface situés dans l'intérieur de la circonférence géodésique de rayon r. 



de 



» Cela étant et remarquant que 7- est toujours positif, la relation (i) en- 

 traîne les deux inégalités suivantes : 



d^c ~^ _ àc f I „ \ d^c de f I _ ir \ 



dz-^Jw '^^ (Jo. Vr„R'„ "^ 7 di^do>^ d» \R(,r; )' 



Multiplions par t/w et intégrons de o à 27:, il viendra 



C étant le périmètre delà circonférence géodésique de rayon r. 



( ' ) Nous avons de ces deux propriétés des démonstrations directes et simples que le 

 manque de place nous empêche de donner ici. 



