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 » De là on conclut que, si l'on pose 



£ sera une fonction de r seulement, infiniment petite avec /■. Or C est une 

 fonction de r; infiniment petite du premier ordre et qui a 2nr pour 

 valeur principale (ce théorème est loin d'être évident : il faut pour l'é- 

 tablir rigoureusement une démonstration assez délicate, que le manque de 

 place nous oblige à réserver pour une autre Communication); donc 



— , (i + £), et par conséquent -yv qui lui est égal, sera aussi du pre- 

 mier ordre et aura — , pour valeur principale; en d'autres termes, 

 on a 



IPC 271/- 



en négligeant les infiniment petits d'un ordre supérieur au premier. 



» Donc — étant, pour r = o, la limite du rapport -? c'est-à-dire 2n, on 

 voit, d'après le théorème de M. Ossian Bonnet énoncé plus haut, que 



dC 



= 271 r' 



dr R„R'„ 



en négligeant les infiniment petits d'un ordre supérieur au second; puis, C 

 étant nul pour /• = o, que 



en négligeant les infiniment petits d'un ordre supérieur au troisième. 



» C'est le premier résultat obtenu par M. Bertrand. Le second s'en dé- 

 duit immédiatement. 



» En effet, en appelant A l'aire du cercle géodésique de rayon r, on 

 voit aisément que 



dPL_ 



donc, A étant nul pour r=o, 



i2RoR'„ 

 en négligeant les infiniment petits d'un ordre supérieur au quatrième. » 



