l'iOQ ) 

 et homogène des solutions inconnues est égal à une ^onction connue de la va- 

 riable indépendante. 



» Soit l'équation proposée 



U = j"" + .7, jC'-" + a,f"-'^ -t- . . . + ^„_, j'+ a„f = o. 



Envisageons n solutions distinctes v;, , . . . , vj,, de l'équation adjointe. A cha- 

 cune d'elles coi'i'espond une intégrale première 



» Les coefficients b s'expriment en fonction de ïj, comme il suit : 



[ ^'. = 'î; — (liVi, 



(2) ]^2 = yi'i - («. vj ,)' + a^rii, 



bi = ri"i — {a, rji)" -h [a.rn)' — a^ m, 



» Soit maintenanty(c) un polynôme entier et homogène, du degré m, 

 par rapport à c,, .. ., c„ et à coefficients constants. En vertu des égalités 

 telles qne(i), on peut considérer^ (c) comme un polynôme F, entier, ho- 

 mogène, du degré m, par rapport à y-') ...y, et à coefficients dépendant 

 de la variable x. Dans F le coefficient de [j(«-')J'» est/(ï3). Quant aux 

 autres coefficients, on reconnaît aisément qu'ils s'expriment en fonction li- 

 néaire dey (vj) et de ses dérivées par des formules dont les égalités (2) con- 

 stituent un cas particulier; par conséquent, en général, si l'on connaît l'ex- 

 pression dey(>2) en fonction de x, on en pourra déduire explicitement F 

 comme un polynôme, du m'^'^^ degré, en j'"-" . . . j, avec des coefficients 

 connus. En l'égalant à une constante, on aura une intégrale de l'équation 

 proposée. 



» Nous appel lerons/(>7) la source de l'intégrale. 



» Il importe, avant tout, de connaître les cas d'exception, ceux où la 

 source ne détermine plus l'intégrale sans ambiguïté Un de ces cas se pré- 

 sente évidemment si la source est zéro, si donc entre les vj il existe une 

 relation homogène, du degré m, à coefficients constants. C'est d'ailleurs le 

 seul cas d'exception; si, en effet, deux intégrales du degré w ont une 

 même source, leur différence est une intégrale dont la source est zéro. Par 

 là on reconnaît que, si entre les vj il existe p relations homogènes, du 

 degré m, linéairement distinctes, les coefficients des intégrales, de ce même 

 degré m, se déterminent, la source étant donnée, par une équation diffé- 

 rentielle linéaire d'ordre p. 



