( i4io ) 



» Considérons pour f[r,) una forme rédu'de, soit 



obtenue avec les vaiiables 



'Ci = «,-,, V2, + Ui-rn-. + . . . + aiyriir 



» Désignons par s, la combinaison semblable 



z,- = a,-,| c, + a/,oC2 + . . . 4- «/,„c,„ 



où les c sont remplacés par leurs expressions (i). Nous obtenons, pour F, 

 la forme réduite 



F = Az^'z^= . . . z;;'+ Bzî^'z^s. . z^;'-\-. . . . 



» Si celte forme réduite ne peut être obtenue que d'un nombre limité 

 de manières, la réduction, opérée sur F, fera connaître les intégrales 

 linéaires z, et l'intégration sera complète, pourvu toutefois que la forme 

 réduite contienne des variables effectives z en nombre ?i. 



» Les polynômes à // variables, dont les formes réduites sont indétermi- 

 nées ou bien contiennent moins de n variables, forment une catégorie 

 d'exception très bien connue, où se rangent notamment les polynômes du 

 second degré. A cette exception près, la connaissance d'une intégrale F 

 entraîne l'intégration complète. D'autre part, la connaissance de /(vj) con- 

 duit à une intégrale F, et, par suite, à l'intégration complète de l'équation 

 qui a pour inconnue j". Mais, par cette dernière, s'intègre aussi l'équation 

 dont Yj est l'inconnue. Donc : 



» Sij en fonction de la variable indépendante, on connaît l'expression d'un 

 polynôme, à coefficients constants, homogène et du degré m, par rapport aux 

 solutions d'une équation différentielle linéaire, cette équation s'intègre complète- 

 ment, pourvu que : 



» 1° Le polynôme ait une forme réduite déterminée, contenant des variables 

 effectives en nombre égal à l'ordre de l'équation; 



» 2° Entre les solutions il n'existe aucune relation homogène, à coefficients 

 constants, d'un degré égal à celui du polynôme. 



» La considération de la forme réduite peut être remplacée par celle des 

 covariants qui la fournissent, et par là se retrouve le beau théorème décou- 



