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vert par M. Darboux (') : Tout covariant d'une intégrale est lui-même une 

 intégrale (l'équation étant privée du second terme). 



)) Pour les applications, on facilite singulièrement les calculs en consi- 

 dérant, au lieu des intégrales, les multiplicateurs qui les fournissent. Soit F 

 une intégrale, du degré m. Sa dérivée F' se décompose en deux facteurs, 

 dont l'un est le premier membre U de l'équation différentielle, l'autre un 

 polynôme homogène et du degré m — i par rapport à j'"-'' ... j\ à coeffi- 

 cients dépendant de x. Ce dernier est le multiplicateur qui fournit l'inté- 

 grale F. Dans ce multiplicateur ç), le coefficient de [^(«-ojm-f ç^t précisément 

 la source de F, et peut aussi être appelé la source de «p. En effet, les autres 

 coefficients s'en déduisent encore sans ambiguïté, sauf le cas d'exception 

 signalé plus haut. 



» Voici comment on peut, pratiquement, calculer un multiplicateur. 

 Tout polynôme homogène en j-, j-', y", ..., à coefficients dépendant de x, 

 peut être décomposé en une somme de deux parties P'4- Q, dont l'une P' 

 est la dérivée d'un polynôme analogue, et dont l'autre Q est caractérisée 

 par ce fait qu'à chaque terme la dérivée de y, de l'ordre le plus élevé, a 

 l'exposant 2, au moins. C'est ce qu'on voit sur l'exemple suivant : 



A/y = [^{j'j"-rj")-^'f-r+ îA'y]'+ kf^ + zk'yf' - iA'y . 



» Pour que le polynôme proposé soit la dérivée d'un polynôme ana- 

 logue, il faut et il suffit que Q n'existe pas. En prenant donc un multipli- 

 cateur, de degré m — i , à coefficients indéterminés, effectuant son produit 

 par U, calculant Q et égalant tous les termes à zéro, on obtiendra les 

 équations propres à déterminer ce multiplicateur. 



» Dans une prochaine Communication, je donnerai une application de 

 cette méthode, ainsi que de la proposition suivante, analogue à celle de 

 ]M. Darboux : Tout invariant d'un multiplicateur est ta source d'un autre multi- 

 plicateur [V équation étant privée du second terme). Le degré de ce dernier 

 est inférieur d'une unité au degré de l' invariant par rapport au.x coefficients, u 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un point de la théorie des fonctions elliptiques. 

 Note de M. Lipschitz, présentée par M. Hermite. 



« En réfléchissant sur la formule des Fundamenta, qui est la source de 

 la détermination des représentations d'un nombre quelconque par une 



(*) Sur les systèmes d'équations linéaires à une seule variable indépendante [Comptes 

 rendus, t. XC, p. 624 ^' %^i 1880). 



