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 e[, d'après une formule due à M. Hermite, 







L'équation (7) peut donc s'écrire sous la forme suivante : 







où il faut poser x = i, 3, 5, 7, . . . et j- = o, ±: 2, ± 4» 



» Cette formule donne immédiatement le théorème de M. Liouville en 



comparant dans les deux membres les coefficients des mêmes puissances 



de q. 



» Remarquons que les relations connues 



S{q)0.{q)=0^-{f) et 0;{q) = 20,{q^-)Ô,{f) 

 donnent o .aius. 



x' T 2 



On aurait donc pu établir la formule (7) un peu plus simplement en for- 



.r — I .t! 



niant directement le carré de cette série 1[— 1) ^ jcq' ; mais les for- 

 mules (3) et (4), dont nous nous sommes servi, peuvent être utiles dans 

 d'autres cas. 



» Ajoutons encore aux théorèmes déjà énoncés les trois suivants : 

 » Théorème V. — Soit N un nombre positif de la forme 8 A" 4- 5; alors 



s-l 



» La sommation, dans le second membre, a rapport à toutes les sohitions 

 de l'équation 2N =: x^ +7"^» *^ étant un carré de la forme 16/: -1- 9 et, par 

 suite, y^ un carré de la forme 8 k -h i. 



» Théorème VL — 5o/< N un nombre positif de la foi me 8 k -{- 1; alors 



s-i s'-l 



2l{-i)' ^ ' sF{2'N - s^) = 1{- iY {x- - 8y-). 



» La sommation, dans le second membre, doit s'étendre à toutes les 

 solutions de l'équation N = a;- + 8y^, x étant positif et impair, y un 

 nombre quelconque, positif, nul ou négatif. 



