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 » Théorème Vil. — Soit N un nombre de la /orme 8X: -H 5; alots 



S—l ,5!-l 



23(-i)'- ' sF{2'N -s-) = l(x--y-). 



» La sommation, dans le second membre, doit s'étendre à tontes les 

 solutions de l'équation 2N = a;^+j-^, x- étant un carré de la forme 

 Sk -+- 9, /'^ un carré de la forme 8k -h i . 



)< Dans ces formules, le second membre devient égal à zéro toutes les 

 fois qu'il n'y a pas de représentation de 2N ou de N par la forme indi- 

 quée. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations algébriques. 

 Note de M. H. Poincaré, présentée par M. Hermife. 



j'iru j. 



« J'ai obtenu, au sujet de la règle des signes de Descartes, un résultat 

 qui présente les plus grandes analogies avec un théorème important de 

 M. Lnguerre. 



» Soit F{x) = o une équation algébrique qui a p racines positives. On 

 peut toujours trouver un polynôme $(a:) tel que le produit F.$ n'ait que 

 p variations. Il en résulte, d'ailleurs, que l'équation $(a:) = o n'a pas de 

 racine positive. 



» En effet, je puis mettre F sous la forme F, F2F3F4. 



» F, est un produit de facteurs linéaires x -+- a, où n est réel positif. 



» F, est un produit de facteurs quadratiques x^-+- 2ax-\-^^, où « et |3 

 sont réels positifs et u plus petit que /3. Le produit FjFo n'a évidemment 

 pas de variations, 



» F3 est un produit de facteurs quadratiques x'^ — lax + jS'', où « et |3 

 sont positifs et « plus petit que |3. Je pourrai alors poser 



« = j3 COSÇ3, 



f étant un angle compris dans le premier quadrant et tel, par conséquent, 

 que cos(fi, sinip et sinaç) soient positifs. Soit n un nombre entier tel que 

 siny, sinaçj, sin3y, . . . , sin(K — i)(]5, sin«y soient positifs et sin(« + i)(p 

 négatif. Posons 



Q — /S"-' siny + j3"-'a:sin2^ + (^''--'x^sinSç) + . . . + .x"-' sin/içj. 

 Le produit 



5(j:^ — 1V.X -\- /3^) = /3"^' sin(p — |3aî"sin(« + ijy + ,r"-' sin«y 



