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 n'a pas de variations. Si donc $3 est le produit de tous les facteurs, tels 

 que 6, le produit F,FoF3<I>3 = -J/ n'aura pas de variations. Supposons que <\i 

 soit un polynôme d'ordre q — i. 



» Considérons maintenant le quatrième facteur de F, c'est-à-dire F,; 

 c'est un produit de facteurs linéaires de la forme x — a, a étant positif, et 

 ces facteurs sont par hypothèse au nombre de p, 



V: = {x ~ a,)[ûc — a^)- . .{x — cip). 

 » Posons 



F,<^,= {xi - a''y,xi - al) . . .{xi - aP), 



ce sera un polynôme de degré pg qui aura/> variations et où manqueront 

 les termes dont l'exposant n'est pas divisible par q. Le produit tJ;F,,$,, sera 

 alors de degré {p -\-i)q ~ 1, et aura, par conséquent, (/»•+- 1)9 coeffi- 

 cients. Il est évident qu'on rencontrera successivement q coefficients posi- 

 tifs, puis q coefficients négatifs, puis q coefficients positifs et ainsi de suite, 

 de sorte que le produit en question présentera p variations. 

 » Mais nous pouvons écrire 



i{'F^$4 = F.O, où <])=:a)3<I>,. 

 » Le résultat énoncé est donc démontré. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Décoinposiliou en élëmeiils simples des fonctions 

 doublement périodiques de troisième espèce {'). Note de M. Appell, pré- 

 sentée par M. Bouquet. 



« Soit 9(5) une fonction uniforme de z satisfaisant à deux relations de 

 la forme 



(i) ç(:: + 2K) = e«^+*ç(3), <p(s -f- 2?R') = e«'--+*>(:;); 



on pourra toujours, en posant 



f{z)^e''--^"f{z) 



déterminer 1 et >.', de telle façon que l'on ait 



(2) /(. + 2K)=/(z), /{z + 2iK') = e'^-y{z), 



(') Voir différentes Notes de M. Hermiie dans les Comptes ie/irlits]des années 1861 et 

 1862. Voir aussi la Thèse d'Analyse présentée à la Faculté des Sciences de Paris par 

 M. Biehler, avril iS^y. 



