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ou la constante A est nécessairement de la terme —■> m désignant un 



entier positif négatif ou nul. Si l'on écarte l'hypothèse w =o qui conduit 

 aux fonctions doublement périodiques de première et de spconde espèce, la 

 fonctiony^(s) est, d'après la dénomination iniroîluite par M. Hermite, une» 

 fonction doublement périodique de troisième espèce. Si l'on pose alors 



Z = X -h 



.> F(JC)=/ [ce -\- : . 



niTzi * ' -^ \ niTzi j 



celte fonction F(ir) vérifie les deux relations 



(3) F(a7 + 2K) = F(^), Y[x-i-'2i¥.') =e~'^^Y[x). 



» En supposant que la fonction 'F[x) ne possède à distance finie d'autres 

 points singuliers que des pôles du premier ordre, nous allons indiquer 

 une décomposition de cette fonction en une somme composée d'éléments 

 simples n'ayant chacun qu'un pôle dans un parallélogramme des périodes 

 aR, 2/K' et d'une partie entière s'il y a lieu; décomposition dont la pos- 

 sibilité est certaine a priori d'après le théorème de M. Mittag-Leffler. Le 

 cas où la fonction F admet des pôles d'ordre quelconque ou des points sin- 

 guliers essentiels isolés peut être traité par les mêmes méthodes. Les élé- 

 ments de la décomposition ont des propriétés différentes suivant que m est 

 positif ou négatif. 



» L Soit d'abord m^o; on peut alors prendre pour élément de dé- 

 composition la fonction 



,r (^ r.\- /""'^''" H'(o) H(..--«,)H(.r-.»,)...H(..--^,„^,) 

 V,'m[i^,^)-^ H(.r-«) H(a-«,)H(«-«,)...H(a-- ..l' 



'«1+1 , 



les lettres rt,, «o, . . . , fl,„ désignant des constantes arbitraires et <7„^., étant 

 déterminée par la relation 



^m+i = a + '«K. — rt, — (7^ — ... — a,„. 



» Cette fonction ']^,„(a:', x), considérée comme fonction de .r, admet pour 

 pôles simples le point a et ses homologues, avec le résidu + i au pôle «; 

 de plus, elle vérifie les deux relations 



I 



(}/,„(ar+ aR, a) = 4/,„(a;, a), '\:,„{x -h 2iK', a) = e "^ ii,„{x,a). 



» Supposons alors que la fonction proposée Y{jc), qui satisfait aux rela- 

 tions (3), admette dans un [)arallélogramine des périodes \esp pôles .simples 



