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«,,«., ..., Kp avec les résidus respectifs R,, R., .., R^. Li formule de 

 décomposition cherchée sera 



(4) F(.r) = R, •K(^r, a, ) + R,i,„(j:, a,) + . . . -t- R^^,„(^, a^) + G(^), 



où G(a:) est une fonction entière satisfaisant à ces mêmes relations (3), 

 fonction qui est composée linéairement à l'aide de m fonctions entières 

 connues. On obtient cette formide (4) et l'on détermine en même temps 

 G(j:)en remarquant que le produit F(a) tj;,„(x, a) est une fonction dou- 

 blement périodique de a et en écrivant que la somme des résidus de cette 

 fonction, relatifs aux pôles situés dans un parallélogramme des périodes, est 

 égale à zéro. 



» II. Soit maintenant m < o. D.ins ce cas il se présente des circon- 

 stances entièrement difiérentes; pour plus de simplicité, je n'examinerai 

 ici que le cas de w = — i, en me réservant de traiter autre part le cas gé- 

 néral. La fonction F(j:) à décomposer en éléments simples vérifie alors 

 les deux équations 



(5) F(a; + 2K) = F(x), F(.r + 2/K') = é^F(.r); 



cette fonction ne peut pas être holomorphe; si elle est méromorphe, le 

 nombre de ses infinis dans un parallélogramme des périodes surpasse 

 d'une imité le nombre de ses zéros. Il conviendra, dans ce cas, de prendre 

 pour élément de décomposition la fonction 



(6) ;^(^,«)=__ \ „.._,,, ^ e q 



n Tta i 



— 9 



2« 



— TI— r 



OÙ q = e ''. Celle fonction y^x^u.) de la variable x admet comme pôles 

 simples le point a. et ses homo'ogiies, avec le résidu + i au point a; elle 

 possède la période aR et vérifie en outre la relation 



où g{a.) désigne la fonction entière de a. 



» 



Cela posé, soient, dans un parallélogramme des péiiodes, a,, 

 aa, ..., Up les pôles sujiposés simples de la fonction F (a;) vérifiant les 



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