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équations (5), et R,, Ro, . . ., Rples résidus correspondants; ces résidus vé- 

 rifient la relation 



(9) R.g(«. ) ^- I^'-gla.) -t- . . . -i- Pvg(«p) = O' 



qui exprime que la somme des résidus de la fonction douldement pério- 

 dique F{x)g{x) est nulle. La formule de décomposition cliercliée est 

 alors 



(10) F(a;) = R,/Jx, «,) + R.x(^,a2)+ ••• +Kx{^>^-p)- 



» Cette formule peut être démontrée directement ; on l'obtient aussi en 

 remarquant que le produit ¥{(/.)y_{x, a) est une fonction doublement pé- 

 riodique de a et en écrivant que la somme des résidus de cette fonction 

 dans un parallélogramme des périodes est égale à zéro. Il est à remarquer 

 que la fonction /(a, x) pourrait aussi servir d'élément de décomposition 

 lorsque m = 4- i. 



>) Les considérations précédentes peuvent être appliquées à des fonc- 

 tions d'un point analytique {x,j-) formées par des quotients de produits 

 de fonctions [u''^ ( x, y ) — h,^. ■» 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Démonslmlion des propriétés fondainenlales 

 du sjstème de coordonnées polaires géodésiques. Note de M. G. Ossian- 



BONNET. 



« Nous nous proposons de donner des propriétés, dues à Gaiiss et rela- 

 tives au système de coordonnées polaires géodésiques, des démonstrations 

 directes et simples. Nous conserverons les notations employées dans une 

 Note précédente et nous poserons en outre, d'une manière générale, 



cp{x) -{- ^{y) ■^- ^{z) = l(p{u], 



x,j, z étant les coordonnées cartésiennes rectangulaires d'un point quel- 

 conque de la surface. 



» Occupons-nous d'abord de la première propriété. 



» Je différentie par rapport à /' l'expression \ -^ -y^; il vient 



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Une interprétation géométrique facile montre que la premièro partie est 



