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rapporte à un sysfème quelconque de coorrlonnées polaires, on prend le 



point iM, défini [lar p, = — et «, =^ 2 m, a étant une constante ; le lien du 



point M, est un ovale de Descartes dont un foyer est au poirit O, origine 

 des coordonnées et pôle de la transformation. 



» I/illustre géomètre se contente d'énoncer ce fait. S'il avait jugé pou- 

 voir s'y arrêter un instant, il l'aurait certainement com|)!élé en ajoutant 

 que celle transformation ne conduit point à des ovales quelconques, ayant leurs 

 tiois Joyers distincts^ mais à des ovales ci foyer double^ cest-à dire à des limaçons 

 de Pascal, espèce de courbe qui n'est qu'un cas particulier des ovales de 

 Descartes, comme il l'a remarqué le premier. 



» C'est ce qui résulte du théorème suivant, auquel nous avons été con- 

 duit p;ir une analyse directe, développée dans un Mémoire que nous allons 

 publier sur ce sujet : 



» L'ovale, qui est le transformé d'un cercle quelconque, de centre C, a un 

 fojrer double provenant de la superposition des transformés des deux points où le 

 cercle de centre O, orthogonal au cercle donné, coupe la dioite OC. 



» Ces deux points peuvent d'ailleurs être réels ou imaginaires (suivant 

 que le point O est extérieur ou intérieur au cercle donné); leur transformé 

 est toujours réel. 



» Laissant de côté la détermination géométrique du foyer double, qui 

 résulte du théorème précédent, on peut se rendre compte a jirioriile l'exis- 

 tence de ce foyer par la remarque suivante : si le point M est représentatif 



de z= a; +j?' y'— ■> '^ point M, est représentatif de --, la courbe (M,) se 



déduit donc de la courbe (M) par la substitution de \Jaz à z dans l'équation 

 en s de celle-ci; par suite, si la courbe (M) est unicursale, la courbe (M,) 

 le sera aussi : c'est ce qui a lieu, en particulier, quand la courbe (M) est un 

 cercle; la courbe (M,) étant alors un ovale unicursal, on sait, d'après 

 M. Darboux, que cette courbe est un limaçon de Pascal, c'est-à-dire un 

 ovale à foyer double. 



» En se fondant sur la transformation de Chasles, que nous venons 

 de rappeler, on ne démontre donc pas des propriétés des ovales, en géné- 

 rai, mais des propriétés du limaçon de Pascal ; nous avons obtenu par ce 

 procédé un certain noudu'e de théorèmes relatifs à cette courbe, que nous 

 développerons dans le Mémoire dont d a été parlé plus haut. » 



