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» Je me propose de faire voir : 



» i" Que si ces séries convergent pendant un intervalle de temps, si petit 

 qu'il soit, elles convergeront toujours; 



» 2" Qu'il n'est pas sin- qu'on [)uisse choisir les constantes de telle façon 

 que les séries convergent; 



» 3" Que les séries, même lorsqu'elles ne couvirgent pas, peuvent donner 

 une solution du problème avec une approximation indéfinie. 



» M. Lindstedt dit aussi qu'il a trouvé le véritable nombre des arguments 

 qu'd faut introduire dans les expressions des coordonnées des masses. Cela 

 n'a de sens que si les coordonnées ne peuvent se développer que d'une seule 

 manière en séries tngonométriqiies convergentes, et c'est certainement là la 

 supposition du géomètre de Dorpat. .Te me propose de montrer que cette 

 supposition est fondée, ce qui n'est pas évident a priai i. 



» Les séries de M. Lindstedt sont de lu forme 



1A„, cos{a,„t 4-t;T„) = l[\i,„ cos(/.,„t + C,„ sni«,„^). 



» Je les suppose convergentes pendant un petit intervalle de temps de 

 part et d'autre de l'époque zéro. Il en résulte que les deux séries 



^ B,„ cos a,„ ^ 1 C,„ sin a,„ t 



sont séparément convergentes ; et il s'.igit évidemment d une convergence 

 absolue, puisque M. Lindstedt ne tient aucun compte de l'ordre des termes. 

 Je dis que les deux séries sont toujours convergentes. C'est évident pour 

 la première, puisque la série 2B,„ doit converger. Si maintenant la seconde 

 converge pour une certaine valeur de t, il en sera de même de 



1{C,„ siiia.,„^ X 2 coi,a,„t):= 2C,„ siii 2 «,„/. 



» Ainsi, si la série converge dans un certain intervalle de temps, elle con- 

 vergera dans un intervalle double ; il s'ensuit qu'elle convergera toujours. 



» Il arrive quelquefois qu'une série trigonométrique, quoique toujours 



convergente, ne représente une fonction donnée que dans un intervalle li- 



■ . ^, 1 . • v> sin «/ , \ r ■^ ■ — ' 

 mite. C est ainsi que la série > ne représente la tonction que 



quand t est compris entre zéro et 2.n. Mais ce ne saurait être ici le cas, car 

 les séries de M. Lindstedt, substituées dans les équations du problème, y 

 satisfont identiquement en admettant qu'elles convergent. 



» Enfin, il ne peut pas y avoir deux solutions du problèiiie; une même 

 fonction ne peut pas être représentée par deux séries trigonométriques, 



