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 une surface P, qui sont d'ordre /, ru, p, le quatrième sommet /, décrit une 

 courbe (Z^) d'ordre [\lmp. 



» Nous pouvons ajouter à ce théorème que les arêtes de ce tétraèdre 

 engendrent des surfaces gauches, savoir : 



» Les arêtes l^l., et l^l^ engendrent <ies surfaces d'ordre 2lin. 



M Les arêtes /(Z3 et i.,l^ engendrent des surfaces d'ordre Zlmp. 



» Et les arêtes I.^l^ et /, Z^ engendrent des surfaces d'ordre 'ilinp. 



» Les pians tangents de la surface L', polaire réciproque de L par rapport 

 à la surface F, sont les plans tangents multiples d'ordre m, et les pians tan- 

 gents de la surface M' sont les plans tangents multiples d'ordîe Z de la sur- 

 face (Z3/,). 



» 2. Dans la démonstration (le l'ordre de la surface (Z, /s), nous pouvons 

 nous servir d'une courbe dont la génération peut être généralisée auisi : 



Etant dotiitte une siiiface gauche S par trois courbes à double courbure D, 

 E, F respectiuenicitt ci'ouù-c cl, e,J, nous pouvons transformer l'une de ces 

 courbes directrices en une autre courbe d^ ordre 3r/e/ située sur cette suiface en 

 coupant la droite génératrice de S passant par un point p de la courbe, cjuidoil 

 être Hansformée, par le plan polaire de ce point par rapport à une surface du 

 second ordre, en un point p'. Le lieu de ce point est la courbe demandée {p' ). 



» Si nous avons transformé la courbe F en la courbe [/'), cette courbe 

 rencontre chacune des autres courbes a), t en idef points et la courbe 

 primitive i aux points de rencontre de cette courbe avec la snrface F. Ces 

 points étant en nombre 2/, ils sont multiples d'ordre éd. 



» 3. A l'aide de cette courbe, nous pouvons déterminer l'ordre d'une 

 surface dont la conslruction est la suivante : 



» Par un point p, faisons passer une droite pp' qui rencontre deux 

 courbes (D, C respectivement d'ordre rf, e. Le plan polaire n du point /j 

 par rapport à la surface fondamentale F du second ordre rencontre la 

 droite pp' en un point p qui engendre une surface [p) quand le point p 

 parcourt une surface donnée P d'ordre p. 



» Une droite quelconque F se transforme, d'après le théorème précédent, 

 en une courbe {J') d'ordre '5de qui rencontre la sinface P en '5dep po'wta 

 qui fournissent les points d'intersection de la droite i^ avec la surface {p'). 

 Cette surface est donc d'ordre 3dep. 



)> On trouve aisément que les courbes (0, C sont les lignes multiples 

 respectivement d'ordre ep et dp sur la surface [p' ). 



» Nous avons donc ce tliéoréme : 



Il Quatul le j)Uin polaire d'un point quelconque p par rapport à une surface 



