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 par A, B deux fonctions linéaires de p,p', . . . , j'obtiens 



(2) 7'"+ aq'+{\a' +i-,v)q + k=o, 



(3) 2117"+ 7(''<7'+(9a(' + p")^ H-B=o, 



formnles dans lequelles j'ai introduit, au lieu de b, l'invariant c : 



V ^ a! ~ zb. 



)) L'élimination décentre (2) et (3) conduirait à l'équation du dixième 

 ordre, d'où dépendent les fonctions/). Mais, par hypothèse, nous connais- 

 sons une de ces fonctions, et nous avons simplement à trouver q. 



» Écartons d'abord le cas particulier où l'invariant c est nul. En ce cas, 

 signalé pour la première fois par M. Laguerre ('), l'équation s'abaisse au 

 second ordre. L'équation, d'où dépend/), s'abaisse au septième ordre et se 

 réduit à B =0; enBn q est donné par la seule équation (2), qui n'est 

 autre que la proposée avec un second membre. Conformément à la théo- 

 rie générale, cette circonstance signifie qu'il existe, entre les solutions, trois 

 relations homogènes du troisième degré, linéairement distinctes. C'est ef- 

 fectivement le cas, puisque entre ces solutions existe une relation homogène 

 du second degré. 



» L'invariant c étant maintenant supposé différent de zéro, on pourra, 

 par deux différentiations, éliminerai ' et q" des équations (2) et (3). Il s'in- 

 troduit alors un nouvel invariant d 



et, C, D étant deux nouvelles fonctions linéaires de p, p', . . . , on trouve 



(4) li^'+[^è'+^-^,^)q = D, 



( l^Sâv'-^-^vB'-^^Aq' 

 I \ 2 10 / ' 



(5) i 6 - 



^ (^6av 5 4- 4 a»^" - — ('(?" - ^^ i>'' v'\ <7 = C. 

 \ \ ^ 10 / ' 



» De ces deux dernières, on pourra tirer q' et q si le dénominateur 

 commun n'est pas nul. Si le dénominateur est nul, on ne pourra obtenir q 

 que par l'équation (4); c'est qu'alors, d'après la théorie générale, les so- 

 lutions sont liées par une relation homogène du troisième degré. Pour 



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Comptes rendus, t. LXXXVIII, p. 1 16 et 224- 



