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 former ce dénominaleur ù, il convient d'introduire les invariants 



et l'on trouve 



ù 



' a loo (' \4 ' / 



» L'équation Çl = o exprime que tes solutions de l'équation différentielle sont 

 liées par une relation homogène du troisième degré à coefficients constatits. 

 Cette expression est ici donnée par les invariants de l'adjointe (i); mais, 

 pour y faire figurer les invariants de l'équation proposée elle-niénie, on 

 n'a qu'à changer les signes de v, ô, et 5, sans modifier celui de ^. 



» Supposons maintenant le cas général, celui où l'invariant fi n'est pas 

 nul. Les équations (4) et (5) donnent q explicitemeiit, et le multiplicateur 

 <p est entièrement connu. On en pourra conclure l'intégrale, du troisième 

 degré, correspondante; mais on peut éviter de considérer cette intégrale 

 et opérer sur le multiplicateur seul. 



» On calculera le discriminant de 9. Soit p^ ce discriminant; il est la 

 source d'un nouveau multiplicateur 9,, du second degré, qui se calcu- 

 lera comme le précèdent. Or l'intégrale fournie par y, est le covariant 

 liessien de l'intégrale fournie par y. La théorie des formes cubiques ter- 

 naires conduit, d'après cette remarque, à achever ainsi la solution. On 

 calculera le discriminant de Xip, -+- p-y; c'est une forme cubique enl, /Jt,, 

 qui pourra s'écrire ainsi 



,,3 - ^ f.x^ - 1 x^) p, 4- (? pn 4- Tp.x^ + ^ r) p. 



» Les lettres S, T désignent des constantes, les invariants de l'intégrale 

 correspondant à 133; ce sont aussi les invariants du polynôme du troisième 

 degré, dont p est l'expression donnée. En prenant p. :X racine de l'équa- 

 tion 



p." -Sp.^!^- fTp.X' - ^S^X* = o, 



on aura un multiplicateur Xçi, + p.f correspondant à une intégrale qui se 

 décompose en trois facteurs. Cliacun de ces facteurs est une intégrale pre- 

 mière linéaire de l'équation (i), et, dans un tel facteur, le coefficient dey 

 est une solution de l'équation adjointe, c'est-à-dire de l'équation proposée. 

 La théorie des formes cubiques fait connaître l'expression de ces facteurs, 

 comme covariants irrationnels, dépendant d'une équation du troisième 

 degré. On en déduit facilement l'équation du troisième degré d'uù dépen- 



