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 les expressions générales p., f{u,) et iJ.2f{ih) des facreurs qui rendent inté- 

 grables séparément chacune de ces parties, procédé qui, sans indiquer 

 d'avance si le problème est possible, exige encore la connaissance préa- 

 lable de deux facteurs particuliers p., et fx^, ainsi que des intégrales corres- 

 pondantes M, et ^^2• 



» Nous obtenons nos résultats en observant simplement que, pour être 

 à la fois facteur d'intégrabiiilé des deux différentielles dont se compose le 

 premier membre de l'équation proposée, f. doit satisfaire aux deux condi- 

 tions simultanées 



IV '^^ M "'f* — "^^i ''^< ivr ''(* A/r '^l^ ''^^^ '^^'- 



fi (ir fx i/f df d.r. ' fidx u. dy dy d.r. 



qui font connaître les expressions P et Q des deux dérivées partielles de 

 log/;.. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — 5»/' le nombre de dccoinposiliolis d'un entier 

 en cinq carrés; par M. Sïieltjes. (Extrait d'une Lettre adressée à 

 M. Hermite.) 



« Dans votre dernière Lettre vous m'avez communiqué ces deux for- 

 mules : 



q + 4'?'' + 97'''+ 167'" + .. . 



i^) \ f f 3 ;; -1 



= (1+ 27 + 20*+ 2Cl''-h,. .) 7— ^-—7 + 7 ^— TT. + r-^-TTT -(- • • • \, 



\ 7^ + 97* + 257 * +. . . 



(''^) j / J 6 li \ r 8<7^ 87' Sq'\ 



[l + q-j- (t + îT ('-i-î 



-H. 



» C'est en étudiant votre première formule {a) que j'ai été amené à 

 considérer de nouveau cette fonction F{?i) qui représente le nombre total 

 des solutions de n = x- ■+■ y'^ -\- z^ -\- t- + ir. !- 



M Le nombre des solutions de « = x* + /" + z^ + <^ étant 



8[2 + (-i)«]y(«), 

 (p{n) désignant la somme des diviseurs impairs de «, il s'ensuit 



Y{n) = i6[«3(/i) + 29(/i — i)-l- 2(f[ii — 4) + 2(f{n — 9) -t-.. .] 



+ 8(— l)"[9(«) — 2(p(?i — l) + 2(]5(« — 4) — 2? « — 9) -t-,..J.,, 



