(• 



( i54G ) 

 » Il est essentiel d'observer que, lorsque n est un carré, il faut encore 

 tenir compte du terme ©(o) = — . 

 » En posant 



( k[n) = (p («) -4- 29(72 — 4) 4- 2'3[ll — 16) + 2(p{7l — 36) +. . ., 



! B{n) = f{n — 1)-+- »(« — 9)+ (p{n — 25) + a(M — 49) + • ■ • - 



nous aurons donc 



( r(n) = 24à(«) + i6B(;0 («pair), 

 ^^'' I F(rt)= 8A(«)-^-48B(/2) («impair). 



» Maintenant votre formule (a) donne aisément les relations suivantes : 



A(70 = 4B(«) (« = 3, mod.4), 

 A(«) = 8B(7/) (77^5, mod. 8), 

 A[n)= B(77) (77EÎE2, mod, 4)- 



» Il s'ensuit donc une simplification de l'expression de F (77) dans les 

 formules (2). Or je trouve qu'une telle réduction est toujours possible. 

 On pent, en effet, exprimer toujours ces deux fonctions A(77), 6(77) l'une 

 par l'autre. Voici, à cet effet, les formules 



A(77)= 4B(77) (72 = 3, mod. 4), 

 A(7j) = 24B(77) (77= I, mod. 8), 

 A(77)= 8B(72) (72 = 5, mod. 8), 



~3/.-(-l . 



(3) 



8*A(72)=: B(72) (72= 2-'"^' 772, IIIEEE^ l , mod.2, X: = 0, 1,2,3, . 



,3 /.-M . 



A(7;) = ^!— ^ B(72) (72=4*'", /?2îs:;3, mod. 4. A= i, a, 3, . . .), 



6.8'*A(72) = -^— ^ B(72) (72 = 4''/?2, 772ESS I , mod. 8, ^- = I , 2, 3, . . .) , 



\2.8*A(72) = ^^ B(72) (72 = 4''/72, /72E^5, mod . 8, ^- = 1 , 2, 3, . . .), 



» Une réduction ultérieure de l'expression de F (22) est possible à l'aide 

 de ces relations : 



/ 6(472) = i6B(72) (72^3, mod. 4), 

 j B(472) =966(72) (72—1, mod. 8), 

 ^^^ 1 B(472) = 32B(72) (72=5, mod. 8), 



( B(472) = 86(72) (72 pair). 



