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CORRESPONDANCE. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les cqucilions du second antre à points cri- 

 tiques fixes et sur la correspondance unk'oque entre deux surjaces. Note de 

 M. Paul Painlevé, présentée par M. Picard. 



V. Quand une équation différentielle algébrique du second ordre 



(i) F(/',r',j, a7) = o 



a ses points critiques fixes, son intégrale y{x) définit, pour x et j;,, con- 

 stants, une correspondance unwoque : 



(2) J = ?[y;.7;.7o.C»u).(^)l' •■• et r„ = ?o[7",j',7,(^0'(-^o)J. •■•. 



entre les deuxsurfacesF = o et F„e^F( y;;, r^,y„, a.-„) = o.Mais cette cor- 

 respondance peut être birationnelle ou seulement biunijorme. Dans le pre- 

 mier cas, les intégrales doubles J et les différentielles totales j, de première 

 espèce, attachées à F se conservent dans la transformation (2), et c'est là ce 

 qui permet d'intégrer l'équation (i). Mais, dans le second cas, qu'advient-il 

 de ces expressions? C'est la question dont je veux m'occuper ici. 



» Ce second cas, oh y est une fonction transcendante (à m branches) 

 des constantes jo'Jo' ^® décompose lui-même en deux autres : ou bienj 

 est une fonction transcendante des deux constantes d'intégration a, p, de 

 quelque manière qu'on choisisse ces constantes; ou bien on peut substituer 

 à 7o, j'„ deux constantes a, |3, telles que j soit fonction algébrique de a. et 

 transcendante de p. C'est seulement dans ce dernier cas que je suis par- 

 venu à des conclusions rigoureuses. 



» Si, dans cette hypothèse, on élimine entre les deux équations 



J = /(,T, y-, fi), y = -T^> la constante a qui y entre algébriquement, on 



forme une relation algébrique en y' , y, qui dépend de x et de p. Je 

 montre tout d'abord que cette relation peut toujours s'écrire 



(3) P(y',r, a;, &, B) = o, 



P étant un polynôme irréductible en y', y, b, B, et la constante b = g{p) 

 étant liée à B par la condition algébrique cp(6, B) = o. Déplus, h et B s'ex 

 priment rationnellement enj", y', j. 



» Soit maintenant cj le genre de 7. Pour rr >> i , les coefficients A (r, b, B) 



