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de P sont fonctions algébriques de .r. Pour m ^i, les A s'expriment algé- 

 briquement en X et en ii, a désignant une fonction qui vérifie soit une 

 équation de Riccati 



(/[) «' = Lh--I- Mz/ -l-N (pourn7 = o), 



soit une équation 



(5) u --=^'^\l{\ — ii^){\ —x"iâ) (pournf=i), 



où L, ]M, N sont fonctions algébriques de x. 



)) D'autre part, la relation (3) doit être au plus de genre i en y', y; 

 autrement, y renfermerait algébriquement les deux constantes. Elle se ra- 

 mène donc algébriquement à une équation 



(6) v' = Iv- + mv -f n (pour/j = o), 

 ou 



(7) ,,'=.nsl{i-v'){i-P^^'-) (pour/j = i), 



/, m, n dépendant algébriquement de x et de u. Le module k', qui est tou- 

 jours indépendant de x, peut dépendre ou non de la constante b. Nous 

 dirons qu'il est variable dans le premier cas, invariable dans le second. 



» Cherchons maintenant à reconnaître si l'intégrale d'une équation (1) 

 donnée est de celte nature. Cette recherche mettra en évidence le rôle que 

 jouent ici les intégrales doubles J et les différentielles totalesy. Désignons 

 par (-/ le genre de F (nombre des J), par r le nombre des différentielles de 

 première espèce y, et énumérons les divers cas possibles. 



» I. Soit d'abord p = î, k^ invariable. On a alors ^ = trr, r= rs -f- 1 . Les 

 cj intégrales J se conservent en même temps que cj des différentiellesy, les- 

 quelles sont fonctions l'une de l'autre. Mais il existe toujours une dijféren- 

 tiellc j i^à deux périodes^ qui ne se conserve pas. On sait d'ailleurs recon- 

 naître algébriquement si une équation donnée (1) rentre dans ce cas et 

 ramener l'équation à la forme (7) algébriquement ou par l'intermédiaire 

 d'une équation (5) ou (4), suivant qu'on a y^i , y = i ou q=o. 



i> II. Soit p =1, k'- variable. On a alors qlrô, r = c3. Les q intégrales J 

 et les n différentielles y 5e conservent. Pour q^i, les conclusions pré- 

 cédentes, relatives à l'intégration, subsistent. Pour ^ = r = i, on connaît 

 une intégrale de la forme 



(8; /IV/y -+- Qdy -h R dx = const., 



