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dont le premier membre est ime différentielle de première espèce en y', y 

 qui doit n'avoir que deux pôriodes; on connaît de plus un dernier multi- 

 plicateur. Pour q =1 et r= o, on connaît un dernier multiplicateur. Pour 

 y ^ o, /•= o, il existe sur F une famille de courbes de genre i et une fa- 

 mille d'unicursales. 



» III. Soit enfin p = o. On a alors y ^ o, r== cj. Les différentielles / se 

 conservent. Pour /\>i, on ramène algébriquement l'équation (i) à la 

 forme (G). Pour r= r,on connaît une intégrale première telle que (8); 

 pour r= o, la surface F est uniformément unicursale. 



)) Les seules équations qui échappent à la méthode sont celles pour 

 lesquelles on a à la fois q'£i et /• = o. Il faut introduire dans ce cas des 

 considérations nouvelles qui seront développées ailleurs. 



» Quand x ne figure pas dans F, ces résultats se simplifient et se com- 

 plètent, notamment dans l'hypothèse q = i, r= o, oh on connaît encore 

 une intégrale de la forme (8). J'ajoute que ces résultats subsistent si F, 

 algébrique en y", y', y, dépend de x d'une façon quelconque, et que de 

 plus ils peuvent s'étendre aux équations dont l'intégrale ne prend que n 

 valeurs autour des points critiques mobiles, ainsi qu'aux équations d'ordre 

 supérieur. 



» Il convient d'insister sur la nature des surfaces F que nous venons de 

 rencontrer. Ces surfaces possèdent au moins une famille de génératrices C 

 unicursales ou de genre i. Si le genre y de F est > i, F appartient à cette 

 classe de surfaces étudiées par M. Nœther et M. Picard, qui sont coupées 

 par leurs adjointes suivant des courbes de genre i. (D'ailleurs, toute sur- 

 face de genre. y ^ i, qui admet des génératrices de genre i, rentre dans 

 cette classe.) Quel que soit le genre q de F, les coordonnées d'un de ses 

 points s'expriment en fonctions uniformes de deux paramètres. Enfin, et 

 c'est le point que je veux surtout signaler, ces surfaces admettent un fais- 

 ceau continu de transformations biuniformes qui dépend au moins d'une 

 fonction arbitraire. Si les génératrices C sont unicursales, ou si, étant de 

 genre i , elles ont même module k'-, ce faisceau renferme un faisceau bira- 

 tionnel qui dépend au moins d'un paramètre. Si k- est variable, le faisceau 

 renferme seulement une transformation infinitésimale rationnelle. Ce fais- 

 ceau conserve à la fois les intégrales doubles J et les différentielles totales / 

 de première espèce, sauf toutefois dans les cas où k- est constant : il existe 

 alors une différentielle y à deux périodes qui ne se conserve pas. Enfm il 

 n'existe pas d'autres faisceaux de transformations biuniformes pour les- 

 quelles une relation algébrique (et une seule) ait lieu entre les points 

 correspondants. 



