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 )) Une intégrale première générale est 



» 3" L'équation 

 avec une relation 



» Une intégrale première générale est 



» Dans ces équations, les 1 désignent des fonctions arbitraires de 

 t, X, x' , .... x''"''\ les x^"'^ des intégrales premières particulières et a une 

 constante arbitraire; dans les lignes qui suivent, nous nous bornons au 

 cas où les X sont des fonctions rationnelles de ces éléments. 



» On peut (loue énoncer un théorème analogue à celui établi par Galois 

 pour les équations algébriques; c'est une analogie déjà devenue classique 

 pour les équations différentielles par les recherches importantes de 

 MM. Picard et Vessiot sur les équations linéaires. 



» Si nous écrivons le groupe p-fois transitif, dont l'équation considérée 

 est dérivée, en p systèmes de variables, nous obtiendrons par un change- 

 ment de variables et paramètres un groupe où les intégrales premières 

 particulières sont des variables et les paramètres des fonctions des con- 

 stantes arbitraires; désignons ce groupe par G. Appelons maintenant, 

 pour abréger, une fonction qui s'exprime rationnellement par t, x, x', . . ., 

 a!<'"~", les intégrales premières et leurs dérivées une fonclion rationnelle 

 des intégrales premières, et une fonction qui admet toutes les transforma- 

 tions de G nue. fonction invariante. 



» Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant : 



» A toute équation qui possède un système fondamental d'intégrales pre- 

 mières correspond un groupe G qui jouit des deux propriétés suivantes : 



» 1° Toute fonction rationnelle des intégrales premières qui s'exprime 

 rationnellement par t, x, x , ..., x-'"' '', les 1 et leurs dérivées, admet toutes les 

 transformations de ce groupe; 



» 2° Toute fonction rationnelle des intégrales premières invariante s'ex- 

 prime rationnellement par ces mêmes éléments. 



» Nous venons de constater l'existence du groupe G; la démonstration 

 de sa double propriété se fera donc facilement en remarquant que les ^ et 



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