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 De sorte que|les a, b, c, d sont quatre systèmes de solutions particulières 

 du système linéaire ci-dessus, quand on y regarde inversement les coeffi- 

 cients M, N, P, Q comme donnés. Ce système en entraîne, d'ailleurs, un 

 autre facile à former et relatif aux coefficients A, B, C,^D. 



» Or on reconnaît que les conditions du problème proposé se tradui- 

 sent par des relations algébriques entre les seules fonctions M, N, P, Q et, 

 par conséquent, la question revient à intégrer le système (ï), après avoir 

 établi les relations nécessaires entre ses coefficients. Dans le cas le plus 

 général, comme on doit exprimer qu'un polynôme du huitième degré est 

 divisible par un autre du sixième, on obtient six équations de condition 

 entre les M, IN, P, Q et, par suite, l'ensemble cherché dépend encore de 

 cinq fonctions arbitraires (en tenant compte de celles qu'introduit la trans- 

 formation homographique générale faite sur t). 



)) On est conduit par là à déterminer l'ensemble GT que l'on cherche 

 en se donnant d'avance quelques-unes des enveloppes qu'il doit posséder, 

 ce qui permet de l'obtenir dans des cas particuliers, ou au moins d'a- 

 baisser l'ordre d'intégration du système (I). Indiquons comme exemple la 

 détermination des familles de cubiques G ayant deux lignes enveloppes E] 

 d'ordre 2, avec coïncidence des plans osculateurs de l'enveloppe et de 

 l'enveloppée, et deux lignes enveloppes ordinaires E" d'ordre i ('). On ne 

 peut se donner arbitrairement ces quatre lignes enveloppes, puisque l'on 

 assujettirait ainsi la cubique G à quatorze conditions. Donnons-nous seule- 

 ment les deux EJ (que nous ne supposons pas réduites à des points). 



» Soient E,-, o/ (' ^ t, 2, 3, 4) '^s coordonnées homogènes, fonctions 

 de u données, de leurs points de contact avec G. On peut supposer que ce 

 sont les points / = o, ? = co de la cubique et poser en conséquence 



a,. = aE,, ^,,= p(^?,+ ^), c, = y (,.-,, -i-^-), ^, = S-,, (,-= 1,2,3,4). 



» Les inconnues sont les fonctions a, (5, y, S, ]x de u. Les M, N, P, Q 

 s'expriment donc avec ces quantités et les données de sorte qu'on obtient 

 facilement les conditions du problème. Soient d'abord deux équations qui 

 font connaître immédiatement \ et [j. et ensuite deux autres qui servent à 

 trouver deux nouvelles inconnues G et 9, substituées à a,, p, y, S par les 

 relations 



e,3S = y^ 9, a.y = PS 



(') Comptes rendus, octobre iSgS. 



