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cherches sur les lignes géodésiques ». Divers géomètres, et notamment 

 M. le professeur Ricci, ayant depuis travaillé sur ce sujet, sans paraître 

 avoir connaissance du résumé de mon Mémoire publié en décembre 1892 

 aux Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, je voudrais rappeler 

 qu'en janvier 1891 j'ai déposé au Secrétariat de l'Académie un pli cacheté 

 où tous mes résultats se trouvaient consignés. J'y indique que seuls les(/i* 

 de courbure constante ont cinq intégrales quadratiques pour leurs géodé- 

 siques, qu'aucun (/^^ n'admet exactement quatre intégrales, que les surfaces 

 de révolution de M. Darboux sont les seules qui en admettent exactement 

 trois. J'y donne également le Tableau des ds- qui admettent exactement 

 deux intégrales quadratiques pour leurs géodésiques. Enfin je fais con- 

 naître le principe de la méthode qui me permet d'établir la généralité de 

 mes résultats. 



» Cette méthode est fondée sur une proposition générale que je n'ai pas 

 publiée jusqu'ici, mais que j'ai enseignée dans mon cours du Collège de 

 France en mai 1898. Je voudrais donner ici l'énoncé de la proposition fon- 

 damentale. 



» Soient X, Xo, Xqo, ••• des fonctions inconnues de ic, et Y, Yo,Yoo. •• •« 

 Z, Zj, Zoo, •• •. T, T„, Ton, ... des fonctions inconnues dey, z. /respecti- 

 vement, les variables x, y, z, t étant liées par deux équations linéaires à 

 coefficients constants réels 



ax -h by -i- cz -h dt -h e =: o, a'r -+- h' y + c' z -|- d' t -1- e' = o, 



où aucun des déterminants tels que ah' — ha! n'est nul. 



» Je considèie un polynôme/composé avec les fonctions X, X„, . ., 

 Y, Y(,, . . ., Z, Zo, . . ., T, To, ... et leurs dérivées jusqu'à un certain ordre; 

 les équations dont je m'occupe ont la forme 



/=o. 



» Si l'on groupe ensemble les termes semblables formés de fonctions 

 de la variable x seulement, on peut mettre/sous la forme 



où les ^X-, sont composés de fonctions de x seulement, et les x, sont des 



coefficients composés avec les autres fonctions Y, . . ., Z, . . ., T, Cela 



posé, voici mon théorème : 



» Sauf pour certains cas où. l'équation f— o se décompose en plusieurs 



