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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentielles du second 

 ordre à points critiques fixes. Note de M. Paul Painlevé, présentée par 

 M. Picard. 



« J'indiquerai dans celte Note quelques résultats nouveaux sur les équa- 

 tions algébriques du second ordre 



(i) F(/'./.J. ■») = <> 



à points critiques fixes. Le cas où l'intégrale JK(^) est fonction algébrique 

 d'une au moins des constantes d'intégration a, (î a été élucidé dans des 

 Communications antérieures. Le cas que j'ai surtout en vue est donc celui 

 où les deux constantes figurent d'une manière transcendante de quelque façon 

 qu'on les choisisse. 



» La première question qui se pose est de savoir si ce cas peut se pré- 

 senter. La chose n'est nullement certaine a priori : pour les équations (i) 

 indépendantes de x et résolues par rapport à y", j'ai montré que l'inté- 

 grale, si elle est uniforme, renferme toujours algébriquement une des con- 

 stantes. On est donc en droit de se demander si cette propriété subsiste 

 quand l'équation contient x. Il n'en est rien, et voici comment on peut 

 former des types d'équations (i) de l'espèce que je veux étudier. 



» J'ai publié précédemment {Comptes rendus, mars iSgS) quelques résul- 

 tats concernant les relations entre j'', y ou enlrey', y, x, qui sont suscep- 

 tibles d'être vérifiées par une intégrale j'( a?) d'une équation (i)à points 

 critiques fixes. Celles de ces relations qui se présentent d'après cela comme 

 les plus simples sont de la forme y' = «p( y, x), où cp est (pour x constant) 

 une fonction dey sans points transcendants dont les diverses détermina- 

 tions cp,, 92, ..., ?n, ••• croissent indéfiniment avec n. J'ai pu établir, 

 relativement à une classe de telles opérations, ce théorème : 



» Soit çp(jK, .r) une fonction de y qui (pour x constant) n'admet pas de 

 points transcendants et dont les déterminations s'obtiennent par une combi- 

 naison d'un nombre fini de lacets. Si {pour x, y pris au hasard) la valeur o„ 



obtenue en parcourant n lacets est telle que 

 fixe A {si grand que soit n), V équation 



(2) £=?0''^) 



reste inférieur à un nombre 



