( G38 ) 



Q 



l'on fnit A = -, -> on peut prendre o = C; l'équation possède une 



inlégr;ile uniforme }' = sn^(C), et une infiniiè d'intégrales à n détermina- 

 tions, dépendant de deux nombres rationnels arbitraires qui permettent 

 de faire croître n au delà de toute limite. 



» On peut montrer que V intégrale y (^x) de (6) est/onction transcendante 

 des deux constantes de quelque manière qu'on les choisisse. Bien plus, cette 

 équation ne se laisse ramener d'aucune manière à une combinaison d'équa- 

 tions du premier ordre. C'est, je crois, le premier exemple d'équation à 

 points critiques fixes ainsi irréductible. L'intégrale de l'équation du troi- 

 sième ordre que vérifie une fonction fuchsienne renferme les trois con- 

 stantes d'une façon transcendante, mais cette équation se ramène par deux 

 quadratures à une équation de Riccati. 



)) Dans l'exemple précédent, l'équation (i) est résolue par rapport 

 à y". Mais considérons maintenant une équation (i) qui possède q inté- 

 grales doubles J (et r intégrales de différentielles totalesy) de première es- 

 pèce. Si l'équation a ses points critiques fixes, l'intégrale y{x') définit 

 (pour X et Xd constants) une correspondance biuniforme entre les deux 

 surfaces F := o et F„ = o, mais cette correspondance ne consente pas néces- 

 sairement les intégrales de première espèce. Toutefois, certaines considé- 

 rations sur les cycles à deux (ou une) dimensions conduisent à regarder 

 comme vraisemblable ce théorème : 



» ! ° Toute transformation biuniforme conserve les intégrales doubles J; 



)> 2° // ne peut exister plus d'une intégrale j qui ne se conserve pas, et cette 

 intégrale n'a alors que deux périodes. 



» De ce théorème résulterait que toutes les équations (i) à points cri- 

 tiques fixes et toutes les correspondances univoques entre deux surfaces 

 auraient été étudiées dans ma dernière Communication, sauf dans l'hy- 

 pothèse où l'on a à la fois q't i , /f i . Pour les surfaces unicursales, il existe 

 à coup sûr, d'après l'exemple (6), d'autres correspondances univoques. 



» Les mêmes considérations entraînent en tonte rigueur d'imj)ortantes 

 conséquences, notamment celle-ci : Soit P dy'-i-Qdy une difféi entielle to- 

 tale de première espèce de F; ù. les points essentiels de y{x) sont fixes (e« 

 même temps que les points critiques), la fonction u = Py"-t- Q y' a ses pôles 

 fixes. En particulier, quand x ne figure pas dans (^i), u(x) est holomorphe. » 



