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point M de (C) à une droite (D) et au point correspondant de sa podaire 

 par rapport à un point (O) non situé sur (D) sont dans un rapport con- 

 stant. 



» La détermination des surfaces correspondantes dépend de l'intégra- 

 tion d'une équation de Riccati. 



» La surface est un hélicoïde quand le plan de la courbe (C) la coupe 

 sous un angle indépendant de sa position. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. Sur les caractères de convergence des séries. 

 Note de M. Hadamard, présentée par M. Picard. 



« Abel a démontré qu'jV est impossible de trouver une fonction 'f{n) telle 

 qu'une série lu^ soit nécessairement convergente si o{n)u„ tend vers o et 

 nécessairement divergente si ce même produit reste constamment supérieur à un 

 nombre fixe. 



» Le point fondamental de sa démonstration peut s'énoncer ainsi : 



» I. Si lentement que diverge une série, on peut toujours multiplier srs termes 

 par les valeurs correspondantes d'une quantité infiniment petite sans troubler 

 la divergence, 



énoncé que du Bois-Raymond a complété par le suivant : 



» IL Si lentement que converge une série, on peut toujours multiplier ses 

 termes par les valeurs correspondantes d'une quantité indéfiniment croissante 

 sans troubler la convergence. 



» On peut remarquer que de cet énoncé résulte immédiatement un 

 théorème qui complète celui d'Abel : 



» Jl est impossible de trouver une fonction <^{n) telle que la série i«„ soit 

 nécessairement divergente si <f(^n)u,i augmente indéfiniment, et nécessaire- 

 ment convergente si (fîn)u„ reste fini. 



» Enfin les énoncés précédents conduisent encore au suivant, en 

 quelque sorte inverse des premiers : 



» III. A toute fonction cp (n) indéfiniment croissante, on peut faire corres - 

 pondre une série coiivergentelu^ telle que la série i»,jÇi(n) soit divergente, 



lequel est implicitement contenu dans les résultats de AL Pringslieim. 



» Il était, dès lors, naturel de former successivement une infinité de 

 séries déduites les unes des autres d'après les énoncés I et II, et de juger 



