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 coordonnées dans l'étude des propriétés des sur-faces courbes. T^es recherches 

 de Monge et Gauss reposent sur l'emploi des coordonnées de Descartes. 

 Bonnet, regardant une surface comme l'enveloppe de ses plans tangents, 

 indique un système de variables qui permet de mettre sous une forme 

 très simple la plupart des formules, et qui constitue une précieuse mé- 

 thode de recherches. Ces deux Mémoires, accompagnés de plusieurs 

 Notes, contiennent, sur la théorie générale des surfaces, des résultats dont 

 nous devons faire ressortir l'extrême importance. 



» Lorsqu'on déforme une surface regardée comme une pièce d'étoffe 

 sans élasticité, la courbure d'une ligne de la surface change. Bonnet éta-, 

 blit que la courbure de la projection de la ligne sur le plan tangent reste 

 invariable; il montre l'importance de cet élément nouveau dans les for- 

 mules de Gauss, dans l'équation des lignes géodésiques, dans l'expression 

 des conditions d'orthogonalité de deux familles de courbes; mais, et c'est 

 là un trait caractéristique de la modestie de Bonnet, il ne donne aucun 

 nom à cet élément si important; exemple mémorable pour les auteurs qui 

 encombrent la Science de mots inutiles! Un nom cependant s'imposait 

 pour l'élément découvert par Bonnet : Liouville l'appela courbure géodé- 

 sique, en raison de son analogie avec la courbure des courbes planes, que 

 les deux faits suivants mettront en évidence. Les lignes les plus courtes 

 tracées sur une surface ont une courbure géodésique nulle, comme les 

 droites du plan ont une courbure nulle; la courbe de longueur donnée 

 qui, sur une surface, entoure l'aire la plus grande, a une courbure géodé- 

 sique constante, comme le cercle dans le plan a une courbure constante. 

 A côté de cet élément du deuxième ordre, Bonnet en introduit d'autres du 

 troisième, dont l'un, appelé torsion géodésique, joue un rôle essentiel dans 

 plusieurs questions, comme le montrera un exemple. L'illustre Lamé avait 

 déterminé toutes les familles de surfaces qui sont à la fois orthogonales et 

 isothermes, en dehors des systèmes évidents formés de cônes et de cy- 

 lindres. Bonnet, par l'application de ses formules, résout immédiatement 

 ce problème difficile; il montre que les lignes asymptotiques des surfaces 

 cherchées doivent être des droites : les surfaces sont donc du second ordre. 

 Ces éléments nouveaux donnent encore une interprétation géométrique des 

 rotations qui figurent dans les formules de Codazzi, dont Bonnet a indiqué 

 une belle démonstration; ils permettent enfin, par une formule élégante 

 et simple, de lever l'indétermination que présentent les formules ordinaires, 

 quand on cherche le rayon de courbure d'une ligne tangente à une asyra- 

 ptotique et ayant son plan osculateur tangent à la surface. 



