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» Le chemin le plus court entre deux points d'une sphère est le plus 

 petit des deux arcs de grand cercle joignant ces points. Si l'on cherche de 

 même le plus court chemin entre deux points d'une surface quelconque, 

 on démontre aisément qu'il doit être composé avec les arcs de certaines 

 courbes appelées lignes géodésiqttes; mais, par les deux points donnés, il 

 peut passer plusieurs lignes géodésiques et il se présente alors le problème 

 délicat de reconnaître celle de ces lignes qui donne effectivement un mi- 

 nimum relatif ou absolu de la distance. Une règle remarquable, énoncée 

 par Jacobi, permet d'assigner une limite de longueur, passée laquelle une 

 ligne géodésique n'est plus un minimum relatif. Bonnet démontre cette 

 règle et en lîiit une application saisissante : si, sur une surface convexe, 

 le produit des rayons de courbure principaux est inférieur à une constante 

 positive a-, une ligne géodésique ne peut être le plus court chemin sur 

 une longueur supérieure à 77a; la surface ne peut pas avoir de nappes in- 

 finies. Bonnet fait reposer sa démonstration sur une formule exprimant la 

 variation de longueur d'une ligne géodésique qui se déplace infiniment 

 peu; puis il donne, pour la variation de longueur d'une courbe quelconque 

 sur une surface, une formule très importante et très utile qui contient uni- 

 quement des éléments géométriques d'une signification simple et précise. 



» Par analogie avec l'idée de courbure d'un arc fini de courbe, Gauss 

 et Olinde Rodrigues ont conçu la notion de la courbure sphérique d'une 

 partie de surface. Si, par le centre d'une sphère de rayon égal à l'unité, on 

 mène des parallèles aux normales à une surface le long d'une courbe fer- 

 mée, l'aire sphérique ainsi découpée est la courbure sphérique de la par- 

 tie de surface Uniitée parla courbe. Cette courbure est exprimée par une 

 intégrale double. Bonnet fît faire un grand progrès à la question, en rem- 

 plaçant l'intégrale double par une intégrale simple prise sur la courbe 

 limite et ne contenant que des éléments géométriques nettement définis : 

 l'élégante formule de Bonnet donne immédiatement, quand on l'applique 

 à un triangle géodésique, le célèbre théorème de Gauss. 



» Les surfaces dont les lignes de courbure sont planes ou sphériques 

 ont attiré, dès l'origine de la théorie des lignes de courbure, l'attention 

 des géomètres. Le fondateur de cette branche de la Science, l'illustre 

 Monge, avait fait connaître une classe particulière de ces surfaces, celles 

 qui admettent un système de lignes de courbure situées dans des plans 

 parallèles. Dupin avait donné ensuite d'élégants théorèmes sur les sur- 

 faces à lignes de courbure sphériques. Bonnet, abordant le problème dans 

 toute sa généralité, détermine les surfaces à lignes de courbure planes ou 



